区间dp详解（入门到进阶）

最新推荐文章于 2025-05-14 23:19:18 发布

原创

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本文详细介绍了区间动态规划（区间dp）的概念及其在不同问题中的应用，包括石子合并问题的初级、中级、高级和究极版本。通过实例解析了状态转移方程和优化策略，如四边形不等式、GarsiaWachs算法和平衡树优化，旨在帮助读者深入理解区间dp并提升解题能力。

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前言：

初级版：51Nod - 1021 石子合并（区间dp，时间复杂度）

思路：

状态转移方程：

AC代码：

中级版：HDU - 3506 Monkey Party（四边形不等式优化，时间复杂度）

高级版：HYSBZ - 3229 石子合并（GarsiaWachs算法优化，时间复杂度常数小）

思路：

AC代码：

究极版：POJ - 1738 An old Stone Game（GarsiaWachs算法优化+平衡树优化，时间复杂度）

思路：

AC代码：

前言：

区间dp主要用于解决是将小区间合并成大区间的一种算法，通过断点的转移来合并区间以达到状态转移。比如石子合并就是通过对前缀和的操作，通过左端点和控制区间长度来进行的。

题目链接请点击题目

初级版：51Nod - 1021 石子合并（区间dp，时间复杂度 $O(n^{3})$ ）

基准时间限制：1 秒空间限制：131072 KB 分值: 20 难度：3级算法题

N堆石子摆成一条线。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的代价。计算将N堆石子合并成一堆的最小代价。

例如： 1 2 3 4，有不少合并方法

1 2 3 4 => 3 3 4(3) => 6 4(9) => 10(19)

1 2 3 4 => 1 5 4(5) => 1 9(14) => 10(24)

1 2 3 4 => 1 2 7(7) => 3 7(10) => 10(20)

括号里面为总代价可以看出，第一种方法的代价最低，现在给出n堆石子的数量，计算最小合并代价。

Input

第1行：N（2 <= N <= 100)
第2 - N + 1：N堆石子的数量（1 <= A[i] <= 10000)

Output

输出最小合并代价

Input示例

Output示例

思路：

通过前缀和记录区间和的情况，然后通过区间dp求解。

状态转移方程： $dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1])(k\in [i,j])$

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int wight[N],dp[107][107],w;
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    int n;
    cin >> n;
    memset(dp,inf,sizeof dp);
    memset(wight,0,sizeof wight);
    for(int i = 1;i <= n;++i){
        cin >> w;
        wight[i] = wight[i - 1] + w;
        dp[i][i] = 0;
    }
    for(int l = 1;l <= n;++l)
        for(int i = 1;i + l <= n;++i){
            int End = i + l;
            for(int j = i;j <= End;++j)
                dp[i][End] = min(dp[i][End],dp[j + 1][End] + dp[i][j] + wight[End] - wight[i - 1]);
        }
    cout << dp