2018数学建模国赛记录

本文记录了一位参赛者从大二开始参与数学建模,通过暑期培训提升技能,最终在国赛中取得国一成绩的经历。在国赛中,团队选择了A题,涉及偏微分方程建模和一维热传导问题。通过差分法求解方程,使用二分法解决优化问题,并在答辩中展现出对代码和方法的深入理解。

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本来是在答辩之后就想写的,无奈中途太多事情抽不开身,再加上期末复习的时间,结果就拖到了现在。

这次国赛其实还是对我帮助很大的,从暑假培训开始,到整个答辩过程结束,中间经历了很多事情。

首先是暑期培训,由于我是从大二才开始进行数学建模,所以对于这方面的各种常用算法和其他的模型都不太了解。暑期培训的这一个过程还是在一定程度上增加我的知识面的。学校的老师培训了比较常见的模型算法之后,整个建模的团队就开始进行模拟训练,做的大多是各地数模比赛的赛题。这里我不得不说一下深圳杯,深圳杯赛题的难度确实够大,不管是数据分析为主,还是算法为主的题都具有足够的难度,最后物理专业的我也只能去选综合评价那道题。

和我一起的两个队友还是很不错的,虽然培训不是次次都来,但是在一起做题的过程中还是都会相互交流的,不存在自闭不说话的情况,再者都是一个班的关系比较好。但是也有缺点,就是对于一些计算机方面的知识没有储备,使用matlab编程的时候也只能让我这个半吊子水平去写代码,不过在参加了大大小小的赛事之后,我对自己的水平还是有信心的。

国赛开始的时候,B题是调度问题,涉及过多的算法以及优化问题。学物理的我们对这方面都不太了解,所以在国赛出题的当天晚上我们就放弃了B题,转而专门去研究A题。最开始我们看见了A题的时候,我们就知道大概是用偏微分方程建模,而且出于对建模本身时间考虑,我们直接将整个防护层视作一维模型,以简化计算,虽然之后计算量还是特别大。由于我们之前学过数学物理方程,所以对一维非稳态热传导问题有个基本的认识。在整个建模过程中,花费最多时间的大概就是如何解这个方程,大概在第二天下午我们才决定用差分的方式进行运算。我们对于边界条件这个问题讨论了很久,最后决定用热流的连续性去解决这个问题。在用matlab进行运算时还遇到了结果发散的情况,后面解决了这个问题。

A题如果把第一题解决了,其实这个题剩下的两个问题都可以迎刃而解。第二题是在一个固定的区间寻找一个最佳值来保证整个系统达到稳定后的温度满足题中的条件。有固定区间的情况下,我们自然就想到了二分法,寻找到解的速度也很快。第三题是把防护服的两层的厚度作为变量,因为有一层很特殊,热传导率高,是空气层。我们就有了一个大胆的想法,把空气层的厚度取为最大,因为不计成本。然后

热防护服是高温环境工作人群的重要保障,本文通过建立数学模型对多层热防护织物内部传热规律进行研究,建立防护服装内部的热传递模型,从而解决外界环境温度一定时,防护服各层随时间变化的温度分布问题和各层织物材料的最优厚度问题。 假人处于恒高温环境中,不考虑防护服织物的边缘热量损失,且人体和防护服的空气间隔很小,忽略空气的自然对流,只考虑热传导;故可以把织物视为导热多层平面,且属于非稳态导热过程。建立“高温环境-防护服-假人体表”系统;由傅里叶定律描述导热速率,将温度的变化转是能量传递的结果,将其看作电磁波的辐射和介质中对电磁波的传输问题。 防护服中的温度分布由时间和防护服与外界热源相对位置二者共同决定的二元函数,因为二元偏微分方程的解析解无法精确求出,所以对时间进行离散化分析,分析以一秒为单位时间的温度变化与位置的关系,从而对问题进行简化。 针对问题一,将各层的导热过程抽象简化处理转换为平板中非稳态导热过程,在平板厚度的四周绝热良好时,从传热的角度上将问题简化为一个一维传热问题;从假人皮肤外侧的温度变化入手,根据热量的流向和生热情况从第Ⅳ层、第III层、第Ⅱ层、第Ⅰ层反向递推出和外界环境温度的关系,引入能温转换系数,建立假人皮肤外侧温度变化和外界温度的等式关系,最后利用最小二乘法设计程序,求出每一阶段的温度分布平差之后的结果,从而得到温度分布。 针对问题二,考虑在一小时内该系统温度变化,用时间限制与温度阈值限制作为约束条件的规划问题,沿用离散化分析手段,由假人体表温度逆推防护服第Ⅱ层厚度的表达式,建立其与外界温度的关系,并寻求满足条件下的最优解。 针对问题三,考虑在给定半小时时间内该系统温度变化,添加更多的约束条件,对问题二中的求解模型进行进一步优化,利用lingo寻找第Ⅱ、Ⅳ层厚度的最优解,并沿用前问中离散化分析手段,由假人体表温度逆推防护服相关设计参数。
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