AVL树

一、什么是AVL树

       AVL树是自平衡的二叉搜索树（二叉查找树、二叉排序树），AVL树再二叉搜索树的基础上通过旋转来得到平衡，平衡即任意一个结点的两个子树的高度差最高为1。

二、旋转

首先我们来看一下如何通过旋转来使得树平衡。

1、左单旋转

解决如下情况：

1. 定义新的根结点指向当前根的右孩子
2. 新根的左孩子等于旧根，旧根的右孩子等于新根的左孩子
3. 将新根插入到旧根原来位置

注意：维护其中各个结点的父节点

2、右单旋转

1. 定义新的根节点指向当前根的左孩子
2. 新根的右孩子指向旧根，旧根的左孩子指向新根的右孩子
3. 将新根插入旧根原来的位置

注意：维护其中各个结点的父节点

3、左双旋转

1. 先进行一次左单旋转
2. 再进行一次右单旋转

4、右双旋转

1. 先进行一次右单旋转
2. 再进行一次左单旋转

三、插入元素

1、找到被插入元素的位置

2、插入元素

3、调整平衡

前两步并没有什么难度，在二叉搜索树中找到合适的位置即可。第三步调整平衡又有以下过程：

（1）从插入元素的位置向上找，找到不平衡的位置

（2）左子树出现不平衡，进行左调整，否则右调整，左右调整则依赖于旋转（平衡与否通过平衡因子的变化来判断）

四、删除元素

删除元素分为以下步骤：

1、找到需要被删除的元素位置

2、此时判断该元素有几个子树：

1. 没有子树，该元素是叶子节点，那么直接删除该结点即可
2. 只有左子树或者右子树，调整该结点的父节点中孩子的指向
3. 左右子树都有，此时应该找到该结点的后继，因为该节点右右孩子，则其后继一定是其右子树中的最左边的结点，且其后继节点最多只有一个右子树，找到之后，将后继节点的值赋给当前要删除的结点，此时删除其后继结点即可。

3、从删除结点的位置向上判断是否平衡，并进行调整。