算法导论笔记

算法导论学习笔记5-1,2

问题复述：
假设要雇佣一名新的办公助理，你先前的雇用尝试都失败了，于是你决定找一个雇佣代理。雇佣代理每天给你推荐一个应聘者。你面试这个人，然后决定是否雇佣他。你必须付给雇佣代理一笔小的费用，以便面试应聘者。然后要真的雇佣一个应聘者需要花更多的钱，因为你必须辞退目前的办公助理，还要付一大笔中介费给雇佣代理。你承诺在任何时候，都要找最合适的人来担任办公助理。因此，你决定在面试完每个应聘者之后，如果该应聘者比目前的办公助理更合适，就会辞掉当前的办公助理，然后聘用新的。你愿意为该策略付费，但希望能够估算该费用会是多少。

假设总共有n个应聘者，并且当你面试每个应聘者的时候都需要给中介的费用为Ci，你每决定雇佣一个应聘者需要的费用为Ch，你总共雇用了m个应聘者。则总花费为（Cin+Chm）

首先看到策略问题，首想到最坏情况和最优情况。

最坏情况：所谓最坏情况，也就是将雇佣了每个面试者，即这些面试者的质量从小到大一次出现。此时所需的费用就是最大值，即（Cin+Chn）。
最优情况：此时就是只雇佣了第一个人，也就是说第一个人的质量是最好的，虽然也面试了后面的所有人，但是都没有雇佣。此时的花费为（Cin+Ch）

此时，可以知道最坏情况雇佣了n个人，最优情况雇佣了1一个人。

在分析时，当然不能简单的只考虑最坏和最优的情况，而是要考虑平均情况。此时，就需要更运用概率论的相关知识。

引入一个概念–指示器随机变量
所谓指示器随机变量，非定一个样本空间s和一个时间a，那么a对应的指示器随机变量I（a）=1（a发生），0（a不发生）
那么算此时的指示器随机变量的期望就变得很简单了，即
E【I（a）】=P（a）

回到雇佣问题，假设雇佣了第i个应聘者，则设Xi=I（a）
E【Xi】=E【I（a）】=P（a）=P（应聘者i被雇佣的概率）

接下来就是求得P（应聘者i被雇佣的概率）

应聘者i被雇佣，也就是说在包含i这个人的总共i个人里面，第i个人的质量是最好的，而这i个人的位置是随机的，也就是说最优秀的这个人在第i个位置的概率是1/i，所以求得P（应聘者i被雇佣的概率）
就是1/i。

综上，此时的1/i为雇佣了第i个应聘者的概率，那么总共有n个人，因为每个人被雇佣这个事件是相互独立的，那就要将每个人被雇佣的概率相加。即第1个人被雇佣的概率+第2个人被雇佣的概率+…+第n个人被雇佣的概率。
所以数学表达式就为

=lnn
在前面的最坏情况我们雇佣了n个人，最好情况雇佣了1个人，但是，平均下来，其实这雇佣了lnn个人。
所以，最后的期望花费为（Cin+Cjlnn）