最长单调子序列(C语言)--动态规划

最长单调子序列

题目描述
给出一个由n个数组成的序列x[1…n]，找出它的最长单调上升子序列。
即求最大的m和a1,a2……,am，使得a1<a2<……<am且x[a1]<x[a2]<……<x[am]

解题思路
动态规划的状态表示描述为：
m[i]，1≤i≤n，表示以x[i]结尾的最长上升子序列的长度，则问题的解为 max{m[i],1≤i≤n }
假设当前已求出m[1…i-1]，当前保留的状态集合为S，下面计算m[i]。
1.若存在状态k∈S，使得x[k]=x[i]，则状态m[i]必定不需保留，不必计算。
因为，不妨设m[i]=m[j]+1，则x[j]<x[i]=x[k]，j∈S，j≠k，所以m[j]<m[k]，则m[i]=m[j]+1≤m[k]，所以状态m[i]不需保留。
2.否则，m[i]=1+max{m[j]| x[j]<x[i], j∈S}。我们注意到满足条件的j也满足x[j]=max{x[k]|x[k]<x[i], k∈S}。同时我们把状态i加入到S中。
3.若2成立，则我们往S中增加了一个状态，为了保持S的性质，我们要对S进行维护，
若存在状态k∈S，使得m[i]=m[k]，则我们有x[i]<x[k]，且x[k]=min{x[j]|x[j]>x[i], j∈S}。于是状态k应从S中删去。

具体代码实现

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

//在非递减序列 arr[start..end]（闭区间）上二分查找第一个大于key的位置，如果都小于key，就返回end+1
int binary_search(int arr[], int start, int end, int key){
    int mid;
    if (arr[end]<=key)
        return end+1;
        
    while(start<end){
        mid=(start+end)/2;
        if (arr[mid]<=key)  //key在mid右边 ,若取大于等于key的位置则为>。 
            start=mid+1;
        else
            end=mid;		//key在mid左边 
    }
    return start;
}

int LIS(int a[], int n){						  //最长递增子序列(Longest Increasing Subsequence) 
	int len=1;
	int *end=(int *)malloc(sizeof(int)*(n+1));    //存储的对应长度LIS的最小末尾的数组 
    end[1]=a[0]; 								  //初始化：长度为1的LIS末尾为d[0]
    for (int i=1;i<n;i++){
        int pos=binary_search(end,1,len,a[i]); //找到插入位置
        end[pos]=a[i];
        if(len<pos) 							  //按需要更新LIS长度
            len=pos;
    }
    return len;
}

int main(){
	int n;
	printf("请输入序列长度(n)：");
	scanf("%d",&n);
	
	int *a=(int *)malloc(sizeof(int)*n);
	printf("\n请输入序列：");
	for(int i=0;i<n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	printf("\nLIS: %d",LIS(a,n));
	return 0;
}