剑指 Offer 60. n个骰子的点数

剑指 Offer 60. n个骰子的点数

题目

把n个骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为s。输入n，打印出s的所有可能的值出现的概率。
你需要用一个浮点数数组返回答案，其中第 i 个元素代表这 n 个骰子所能掷出的点数集合中第 i 小的那个的概率。

示例 1:

输入: 1
输出: [0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667]

示例 2:

输入: 2
输出: [0.02778,0.05556,0.08333,0.11111,0.13889,0.16667,0.13889,0.11111,0.08333,0.05556,0.02778]

限制：

1 <= n <= 11

思路

这道题暴力会越界，可以使用动态规划。
给定 n个骰子，可得：

• 每个骰子摇到 1 至 6的概率相等，都为 $1/6$
• 将每个骰子的点数看作独立情况，共有 $6^n$种「点数组合」。 例如n=2时的点数组合为：
  $(1,1),(1,2),\cdots ,(2,1),(2,2),\cdots ,(6,1),\cdots ,(6,6)(1,1),(1,2),\cdots ,(2,1),(2,2),\cdots ,(6,1),\cdots ,(6,6)(1,1),(1,2),\cdots ,(2,1),(2,2),\cdots ,(6,1),\cdots ,(6,6)$ n个骰子「点数和」的范围为 $[n,6n]$
• 数量为 $6n-n+1=5n+1$种。

设输入 n个骰子的解（即概率列表）为$dp(n)$，其中「点数和」 x 的概率为 $dp[n][x]$ 。

假设已知 n−1个骰子的解 $dp[n-1]$ ，此时添加一枚骰子，求 n 个骰子的点数和为 x的概率 $dp[n][x]$ 。
当添加骰子的点数为 1 时，前 n−1个骰子的点数和应为 x−1 ，方可组成点数和 x ；
同理，当此骰子为 2 时，前 n−1个骰子应为 x−2；以此类推，直至此骰子点数为 6 。
将这 6种情况的概率相加，即可得到概率 $dp[n][x]$ 。递推公式如下所示：

$dp[n][x]$= ${\sum }_{i=1}^6$ $dp[n-1][x-i]/6$

根据以上分析，得知通过子问题的解 $dp[n-1]$ 可递推计算出 $dp[n]$ ，而输入一个骰子的解$dp[1]$ 已知，因此可通过解$dp[1]$ 依次递推出任意解 $dp[n]$ ，如下图所示，$n=2,x=7$：

观察发现，以上递推公式虽然可行，但 $dp[n-1]$ 中的$x-i$会有越界问题。例如，若希望递推计算 $dp[2][2$ ，由于一个骰子的点数和范围为 $[1,6]$，因此只应求和$dp[1][1]$ ，即 $dp[1][0]$, $dp[1][-1]$, $dp[1][-2]$ , $dp[1][-3]$, $dp[1][-4]$ 皆无意义。因此，计算的时候需要添加判断保证$x-i$有效，即$x-i>0$。

代码

class Solution {
public:
    vector<double> dicesProbability(int n) {
        // 二维dp
        // dp[i][j] 表示i个骰子时总和为j的概率
        vector<double> res(5*n+1);
        vector<vector<double>> dp(n+1, vector<double>(6*n+1));

        // 初始化
        for(int i = 1; i <= 6; ++i)
            dp[1][i] = 1.0/6;
        
        // 顺序遍历
        for(int i = 2; i <= n; ++i)
            for(int j = i; j <= 6*i; ++j){
                for(int k = 1; k <= 6; ++k){
                    // 当前选k,前面的影响
                    if(j - k > 0)
                        dp[i][j] += dp[i-1][j - k]/6;
                    else
                        break;
                }
            }
        
        for(int i = n; i <= 6*n; ++i)
            res[i - n] = dp[n][i];
        
        return res;

    }
};