剑指Offer（四十六）：圆圈中最后剩下的数（C++/Python）

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博客围绕六一牛客游戏展开，该游戏让小朋友围成圈报数，喊到特定数的小朋友出列，最后剩下的小朋友获礼品。解题将其转化为数学问题，定义两个函数，通过正推删除过程，得出逆推思路，找到f(n,m)与f(n - 1,m)的关系，并给出C++和Python版代码思路。

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题目描述

每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。每次喊到m-1的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0...m-1报数....这样下去....直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_^)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？(注：小朋友的编号是从0到n-1)

解题思路

数学问题，定义两个函数：

f(n,m)，表示每次在n个数字中删除第m个数字最后剩下的数字。序列为0,1,2,3……n-1

g(n,m)，表示每次在n个数字中删除第m个数字最后剩下的数字。序列为k+1,k+2……n,0,1……k-1

不难发现f(n,m) = g(n-1,m)，f(n,m)的结果应该为最后删除的数字。

最初为0,1,2,3……n-1，删除第k(m-1%n)个变为0,1,2,3……n-1。第二次的时候从k+1开始计数，k+1->0，k+2->1……映射为一个0-n-2的序列，映射前的数字为x，则映射后的数字为(x-k-1)%n，换言之若映射后的数字为x，则映射前的数字为(x+k+1)%n。现在第二次删除的时候，删去的映射后第k(m-1%n-1)个数……由此类推下去。

以上是正推的删除过程，但是真正对解题有帮助的方式是逆推。我们的目标要找到f(n,m)与f(n-1,m)关系

假设现在已知g(n-1,m)，由上述过程可得f(n,m) = g(n-1,m)=x，f(n-1,m)=(x+k+1)%n，k=(m-1)%n，化简的下面的递推式。

$f(n,m) = \begin{cases} 0 & \text{ if } n=1 \\ [f(n-1,m)+m]mod(n) & \text{ if } n>1 \end{cases}$

C++版

class Solution {
public:
    int LastRemaining_Solution(int n, int m)
    {
        if(n < 1 || m < 1)
            return -1;
        int last = 0;
        for(int i = 2; i <= n; ++ i)
            last = (last + m) % i;
        return last;
    }
};

Python版

class Solution:
    def LastRemaining_Solution(self, n, m):
        # write code here
        if m < 1 or n < 1:
            return -1
        last = 0
        for i in range(2, n + 1):
            last = (last + m) % i
        return last