0-1背包问题

问题
已知一个背包最多能容纳物体的重量为W，现有N个物品，第i个物品的重量为$w_i$，价值为$v_i$。求当前背包能装最大价值的物品为多少。

例：容量为W=4，物品个数为N=3，重量为w=[2,1,3]，价值为v=[4,2,3]。

问题分析

在当前剩余容量的条件下，选择使得背包物品价值最大的物品（也可能不选择）。

定义动态规划数组：

状态：当前剩余容量，则状态数量=w+1个，即0，1，2，…，w

dp[i][w]：对于前i个物品，背包容量为w时，能得到的背包最大价值。

根据例子，N=3,W=4，所以dp[3][5]。

代码

def maxvalues(W,wt,vt):

    n=len(wt) #获取物品数量

    dp = [[0]*(W+1) for _ in range(n+1)] #构造(n+1)*(W+1)数组

    #dp[i][j]表示前i个物品，剩余容量为j时，背包物品的最大价值

    for i in range(1,n+1): #依次遍历每个物品

        for j in range(1,W+1): #背包剩余容量

            if wt[i-1]<=j: #当前物品的重量不超过背包剩余容量

                #剩余容量为j条件下：

                #选择1：把物品i装入背包 ，状态必然是从上一次i-1个物品，在容量为j-wt[i]的情况下，

                #加上当前物品wt[i]时，才能使得物品剩余容量为j

                #即：dp[i-1][j-wt[i]] + vt[i]  --转换为-->  dp[i][j]

                #选择2:不把物品i装入背包，则背包容量不变，价值不变 即：dp[i-1][j] --转换-->dp[i][j]

                #比较两种选择，选择价值最大的存入数组：

                dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-wt[i-1]]+vt[i-1])

            else: #当前物品重量大于背包剩余容量，则只能直接不存入物品,即只有选择2

                dp[i][j]=dp[i-1][j]

    return dp[n][W]