洛谷P3902: 递增(最长上升子序列+二分优化)

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1439

 

题目描述

现有数列A1​,A2​,⋯,AN​,修改最少的数字,使得数列严格单调递增。

输入输出格式

输入格式:

 

第1 行,1 个整数N

第2 行,N 个整数A1​,A2​,⋯,AN​

 

输出格式:

 

1 个整数,表示最少修改的数字

 

输入输出样例

输入样例#1: 复制

3
1 3 2

输出样例#1: 复制

1

说明

• 对于50% 的数据,N≤103

• 对于100% 的数据,1≤N≤105,1≤Ai​≤109

解题思路:

把序列变成递增的,可以先求出最长上升子序列,然后改变那些除了最长上升子序列的数,所以答案就是

总数-最长上升子序列数。

 

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 100020
int a[N], f[N];
int main()
{
    int n, i, len, l, r, mid, inf=199999999;
    while(scanf("%d", &n)!=EOF)
    {
        for(i=1; i<=n; i++)
            scanf("%d", &a[i]);
        f[1]=a[1];
        len=1;
        for(i=2; i<=n; i++)
        {
            l=1;r=len;
            while(l<=r)
            {
                mid=(l+r)/2;
                if(f[mid]>=a[i])
                    r=mid-1;
                else
                    l=mid+1;
            }
            f[l]=a[i];
            len=max(len, l);
        }
        printf("%d\n", n-len);
    }

    return 0;
}

 

### 最长公共子序列(LCS)线性DP解法 在处理最长公共子序列(LCS)问题时,通常的动态规划解法时间复杂度为 $ O(n^2) $,这在数据规模较大时无法有效处理。对于洛谷 P2516 题目,需要一种更高效的解法。 #### 问题分析 题目要求找到两个序列的最长公共子序列。假设两个序列分别为 $ A $ 和 $ B $,长度分别为 $ n $ 和 $ m $。常规的 $ O(nm) $ 解法在 $ n $ 和 $ m $ 较大时(如 $ 10^5 $)无法通过。因此,我们需要一种更高效的解法。 #### 线性DP解法思路 在某些特定条件下,可以利用优化手段将 LCS 问题转换为其他问题。例如,当两个序列都是 1 到 $ n $ 的排列时,可以利用最长上升子序列(LIS)的解法来优化。 具体步骤如下: 1. **映射元素位置**:将序列 $ A $ 中每个元素的位置映射到一个数组中,表示该元素在 $ B $ 中的位置。 2. **转换为 LIS 问题**:将问题转换为在映射后的数组中寻找最长上升子序列的问题。这是因为公共子序列在 $ A $ 和 $ B $ 中的顺序必须一致,而最长上升子序列正好满足这一条件。 3. **使用贪心 + 二分优化 LIS**:利用贪心策略和二分查找优化 LIS 的求解过程,时间复杂度为 $ O(n \log n) $。 #### 代码实现 ```cpp #include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MAXN = 100005; int pos[MAXN]; // 映射数组 int dp[MAXN]; // 用于 LIS 的 dp 数组 int main() { int n; cin >> n; vector<int> A(n), B(n); for (int i = 0; i < n; ++i) { cin >> A[i]; } for (int i = 0; i < n; ++i) { int x; cin >> x; pos[x] = i; // 记录 B 中每个元素的位置 } int len = 0; for (int i = 0; i < n; ++i) { int x = pos[A[i]]; int* p = lower_bound(dp, dp + len, x); if (p == dp + len) { dp[len++] = x; } else { *p = x; } } cout << len << endl; return 0; } ``` #### 说明 - **映射元素位置**:通过 `pos` 数组将 $ A $ 中的元素转换为其在 $ B $ 中的位置,这样可以将问题转换为在 $ A $ 中寻找最长上升子序列。 - **LIS 解法**:利用贪心策略和二分查找,维护一个递增的 `dp` 数组,每次更新 `dp` 数组的值,最终 `dp` 数组的长度即为最长公共子序列的长度。 这种方法在时间复杂度上显著优于传统的 $ O(n^2) $ 解法,适用于大规模数据。
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