方差的意义

方差是为了观察样本的离散程度。举个例子：样本A是10、10、10、10、10；样本B是-10、0、10、20、30。A和B的均值都是10，但显然B的样本点离散程度更大一些。如何来用统计量描述这种离散程度呢？很直观可以想到：那就把每一个样本点与均值点的“距离”统计在一起看一看就清楚了。最先想到的距离就是直接做差（暂时仅讨论一维情况），但会有正负号相抵消的问题——试想上边样本A和B，每个样本点与均值做差并对差值求和后都是0，并无法区分分散程度。鉴于此，很直接想到一个改良版本，即对差的绝对值求和，即统计量“平均差”。但平均差仍有一些问题，最关键的是没有过于偏离的点以足够多的“关注”。举例子：给定样本C为-20、10、10、10、40。将样本C与样本B比较，二者均值相等、平均差相等，但直观感受上来讲，样本C离散更严重些（想像成分数的话就是C的发挥更加不稳定），因为有两个明显“跑到远处去”的点。所以为了给明显跑偏的点以更大的“关注”，就使用二次函数加大这个惩罚值，于是方差便诞生了。当然，为了与样本点及其均值在量纲上可比，通常会再开方得到标准差。此外，方差有一些额外的优势，比如二次函数天然可解决正负号相抵的问题、可以在高维数据下计算距离、计算方便等等。另外从统计意义上讲，可以证明使方差最小化能够找到概率最高的无偏估计。综上，方差成为了描述样本离散程度的最常用统计量。
方差越大，说明数据离散程度越大，其所包含的信息越多