BZOJ1101: [POI2007]Zap【数论分块+莫比乌斯函数】

最新推荐文章于 2019-07-21 22:25:55 发布

XSamsara

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分类专栏： BZOJ 莫比乌斯函数数论分块

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本文介绍了解决POI2007[Zap]问题的方法，该问题涉及到数论中的莫比乌斯函数及数论分块技巧。通过将原始问题转化为更简单的形式，并利用莫比乌斯函数的性质，最终实现了一个高效的求解算法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1101: [POI2007]Zap

原式为 $\large \sum_{i=1}^{A} \sum_{j=1}^{B} [(i,j)==D]$

基本操作，除掉D

$\large \sum_{i=1}^{\frac{A}{D}} \sum_{j=1}^{\frac{B}{D}} [(i,j)==1]$

已知 $\large \sum_{d|n} \mu(d)=[n==1]$

所以 $\large \sum_{i=1}^{\frac{A}{D}} \sum_{j=1}^{\frac{B}{D}} \sum_{d|(i,j)} \mu(d)$

移项 $\large \sum_{d=1}^{min(\frac{A}{D},\frac{B}{D})} \mu(d) \sum_{d|i} \sum_{d|j} 1$

等于 $\large \sum_{d=1}^{min(\frac{A}{D},\frac{B}{D})} \mu(d) [\frac{A}{Di}][\frac{B}{Dj}]$

数论分块就可以了。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int MAXN=50005;
int T,A,B,D,cnt,p[MAXN],mu[MAXN];long long Ans;
bool vis[MAXN];
void make_p(){
	vis[0]=vis[1]=1;mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=50000;i++){
		if(!vis[i]) p[++cnt]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=50000;j++){
			int x=i*p[j];vis[x]=1;
			if(i%p[j]==0){mu[x]=0;break;}
			else mu[x]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=2;i<=50000;i++) mu[i]+=mu[i-1];
}
int main(){
	make_p();
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d%d%d",&A,&B,&D);Ans=0;A/=D,B/=D;
		for(int i=1,fi;i<=min(A,B);i=fi+1){
			fi=min((A/(A/i)),B/(B/i));fi=min(fi,min(A,B));
			Ans+=1ll*(mu[fi]-mu[i-1])*(A/i)*(B/i);
		}
		printf("%lld\n",Ans);
	}
	return 0;
}