AI实训（三）：聚类算法、支持向量机算法

1. 聚类算法

聚类概念：

• 无监督问题：我们手里没有标签了
• 聚类：相似的东西分到一组
• 难点：如何评估，如何调参

有个比较好玩的聚类算法可视化网站，可以方便理解聚类算法。
k-means
DBSCAN

1.1 K_means算法

1、基本概念

• 要得到簇的个数，需要指定K值（也就是分为K类）
• 质心：均值，即向量各维取平均即可（K个质心）
• 距离的度量：常用欧几里得距离和余弦相似度（先标准化）
• 优化目标：$min\sum _{i=1}^K\sum _{x\in C_i}dist(c_i,x{)}^2$

2、工作流程

（a）一堆没有标签的样本点
（b）随机初始化两个中心点（一红标签一蓝标签）
（c）遍历所有样本点，样本点到哪个中心点的距离最短，就贴上相应的标签。
（d）分别计算红色簇和蓝色簇的质心，作为新的中心点
（e）根据新中心点，重复（c）步骤
（f）重复（d）步骤
一直到质心不再改变，有时候可能会无限迭代下去，这时可以设置最大迭代次数。

由于是随机初始化中心点，所以同样的数据集，相同的K值，运行多次，每次得到的聚类效果可能都不一样。sklearn工具包中的k-means算法是默认跑10次然后取最好的那一次。

3、评估方法

注意：这里的评估方法只是一个参考，并不代表最佳的参数选择方案。

• Inertia指标：也就是每个样本与其质心的距离的平方的总和，在sklearn工具包中，这个指标值可以通过kmeans.inertia_属性来获得
• 轮廓系数：
  • 𝑎𝑖 : 计算样本i到同簇其他样本的平均距离ai。ai 越小，说明样本i越应该被聚类到该簇。将ai 称为样本i的簇内不相似度。
  • 𝑏𝑖: 计算样本i到其他某簇Cj 的所有样本的平均距离bij，称为样本i与簇Cj 的不相似度。定义为样本i的簇间不相似度：bi =min{bi1, bi2, …, bik}
    
  • 结论：
    • si接近1，则说明样本i聚类合理；
    • si接近-1，则说明样本i更应该分类到另外的簇；
    • 若si 近似为0，则说明样本i在两个簇的边界上。

4、优劣势

优势：简单、快速、适合常规数据集（成堆形状的数据集，比如上面流程中的数据集）

劣势：

• K值难确定
• 复杂度与样本呈线性关系
• 很难发现任意形状的簇，比如下面这种
  

1.2 DBSCAN算法

如果要用聚类算法，首选 DBSCAN算法

1、基本概念

Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise

• 核心对象：若某个点的密度达到算法设定的阈值则其为核心点。（即 r 邻域内点的数量不小于 minPts）
  像下面图中的红色点，以其为圆心、半径为 r 画一个圆，圆内的样本数若大于某个值，那红色点就是一个核心对象。
  
• ϵ-邻域的距离阈值：设定的半径r
• 直接密度可达：若某点p在点q的 r 邻域内，且q是核心点则p-q直接密度可达。
• 密度可达：若有一个点的序列q0、q1、…qk，对任意 $q_i$-$q_{i-1}$ 是直接密度可达的，则称从q0到qk密度可达，这实际上是直接密度可达的“传播”。
  如下图，q0和q1是直接密度可达，q1和q2直接密度可达，则q0和q2是密度可达。
  
• 密度相连：若从某核心点p出发，点q和点k都是密度可达的，则称点q和点k是密度相连的。
• 边界点：边界点不是核心点，但落在某个核心点的邻域内。
• 噪声点：不属于任何一个类簇的点，从任何一个核心点出发都是密度不可达的。
  
  红色点：核心对象
  黄色点：边界点
  蓝色点：离群点（噪声点）

2、工作流程

• 参数D：输入数据集
• 参数ϵ：指定半径
• MinPts：密度阈值
  

3、参数选择

• 半径ϵ，可以根据K距离来设定：找突变点
  K距离：给定数据集P={p(i); i=0,1,…n}，计算点P(i)到集合D的子集S中所有点之间的距离，距离按照从小到大的顺序排序，d(k)就被称为k-距离。
• MinPts： k-距离中k的值，一般取的小一些，多次尝试

4、优劣势

优势：

• 不需要指定簇个数（簇个数由半径 r 决定）
• 擅长找到离群点（检测任务）
• 两个参数就够了
• 可以发现任意形状的簇
  

劣势：

• 高维数据有些困难（可以做降维）
• 参数难以选择（参数对结果的影响非常大）
• Sklearn中效率很慢（数据削减策略）

5、评估方法

可以用上面提到过的轮廓系数。

2. 支持向量机（SVM）算法

Support Vector Machine

决策边界

选出来离雷区最远的边界（雷区就是边界上的点，要Large Margin）

距离的计算

如果数据的特征是2维的，决策边界为一条线
如果数据的特征是3维的，决策边界为一个面

求出点 $x$ 到平面的距离？

现在假设数据的特征是3维度的，决策平面的方程为$W^{T}x+b=0$

在决策平面上有两个点 $x^{\prime }$、$x^{\prime \prime }$，则有 $W^T{x}^{\prime }=-b，W^T{x}^{\prime \prime }=-b$

W（法向量）垂直于决策平面，则$(x^{\prime \prime }-x^{\prime })$是平面上的一条向量，法向量 $W$ 垂直于平面上的任意一条向量，因此两者点积为0，即 $W^T(x^{\prime \prime }-x^{\prime })=0$

由以上铺垫可以得到，$dist(x,b,w)=|\frac{W^T}{||W||}(x-x^{\prime })|=\frac{1}{||W||}|W^{T}x+b|$

数据标签定义

数据集：$(x_1,Y_1)、(x_2,Y_2)\dots (x_n,Y_n)$

Y为样本的类别： 当 $x$ 为正例时候 Y