欧几里得/扩展欧几里得

欧几里得算法

简介

欧几里得算法，也叫辗转相除，简称 $gcd$，用于计算两个整数的最大公约数.
定义 $gcd(a,b)$ 为整数 $a$ 与 $b$ 的最大公约数.

引理：$gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$

1.设 $a$ 与 $b$ 的最大公约数为 $g$，则 $a=m_1\times g$ , $b=m_2\times g$ 易知 $m_1$ 与 $m_2$ 互质。
2.设 $q=\lfloor \frac{a}{b}\rfloor$ , $r=a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b=a-p\times b=(m_1-p\times m_2)\times g$，由1得 $b$ 与 $r$ 的最大公约数为 $g$ ，且 $m_2$ 与 $(m_1-p\times m_2)$ 互质。
证明$m_2$ 与 $(m_1-p\times m_2)$ 互质：

假设 $m_2$ 与 $(m_1-p\times m_2)$ 的最大公约数为 $k$，且$k\ge 2$（两数不互质）。
$⟹m_2=n_1\times k$，$m_1-p\times m_2=n_2\times k$
$a-p\times b=r⟺a=p\times b+r⟺$
$a=n_2\times k\times g+p\times n_1\times k\times g⟺$
$a=(n_2+p\times n_1)\times kg$，又 $b=n_1\times kg$
则 $a$ 与 $b$ 的最大公约数为 $kg$ ，跟已知矛盾，即 $m_2$ 与 $(m_1-p\times m_2)$ 互质.

当 $b=0$ 时 $gcd(a,b)=a$

int gcd(int a. int b) //a,b大小不影响
{
	return b ? gcd(b. a%b) : a;
}

扩展欧几里得算法

简介

扩展欧几里德算法，简称 $exgcd$ 是用来在已知a, b求解一组x，y，使它们满足贝祖等式/裴蜀定理（不了解可以戳一下(σﾟ∀ﾟ)σ…:*☆）：
$$ax+by=gcd(a,b)=d$$
让我们简单的推导一下过程
$$ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)=b{x}^{\prime }+(a\%b)y^{\prime }$$

然后我们就可以开始了

$$⟹ax+by=b{x}^{\prime }+a{y}^{\prime }-(a/b)b{y}^{\prime }=a{y}^{\prime }+b(x^{\prime }-(a/b)y^{\prime })$$

于是得到一组解 $x=y^{\prime },y=x^{\prime }-(a/b)y^{\prime }$
接着考虑边界条件 $(b=0)$，$ax=gcd(a,0)$ 显然成立.
当然，不定方程会有很多很多解，这时，我们设最小正整数解为 $x_0,y_0$，则通解为 $$x=x_0+\frac{b}{gcd(a,b)},y=y_0+\frac{a}{gcd(a,b)}$$

至于证明，它死了，将通解带入方程式即可.

应用

hdu2669（模板题）

题目描述
给定两个数 $a,b$ ，求满足 $ax+by=1$ 的 $x,y$ 且 $x$ 为满足条件的最小正整数.

题解
用扩展欧几里得，迭代求出最小的 $x$ 即可.

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;

void exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
        if (!b)
        {
                x = 1, y = 0;
                return ;
        }
        exgcd(b, a%b, y, x);
        y -= x * (a/b);
}

LL gcd(LL a, LL b)
{
        return b ? gcd(b, a%b) : a;
}

int main()
{
        LL a, b, x, y;
        while (scanf("%lld%lld", &a, &b) == 2)
        {
                if (gcd(a, b) != 1)
                {
                        puts("sorry");
                        continue;
                }
                exgcd(a, b, x, y);
                while (x < 0)
                {
                        x += b;
                        y -= a;
                }
               // x = (x % b + b) % b;
                printf("%lld %lld\n", x, y);
        }

        return 0;
}

洛谷P1082（同余方程）

题目描述
求关于 $x$ 的同余方程$ax\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$ 的最小正整数解。

题解
$ax\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)⟹ax+by=1$

代码

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;

void exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
        if (!b)
        {
                x = 1, y = 0;
                return ;
        }
        exgcd(b, a%b, y, x);
        y -= x * (a/b);
}

int main()
{
        LL a, b, x, y;
        scanf("%lld%lld", &a, &b);
        exgcd(a, b, x, y);
        while (x < 0)
                x += b;
        printf("%lld\n", x);

        return 0;
}

hdu1356（解不定方程）

题目描述