2019杭电暑期多校第三场 F：Fansblog（威尔逊定理+逆元）

芋圆西米露

于 2019-07-29 20:29:37 发布

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_41117236/article/details/97674350

本文深入探讨了威尔逊定理的应用，通过解析(p-1)!≡ -1(modp)来验证一个数是否为素数。文章提供了一种算法实现，包括快速乘法、快速幂运算和素数检查，适用于大整数运算场景。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【题解】

威尔逊定理：当且仅当 p为素数时：( p -1 )! ≡ -1 ( mod p ) --->（p -2）! ≡ 1（ mod p）

那么 Q!*(Q+1)*(Q+2)*...*(P-2) mod P = 1 ---> Q! mod P ≡ 1/( (Q+1)*(Q+2)...*(P-2))

【代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll qmul(ll a,ll b,ll m)
{
    ll ans=0;
    while(b){
        if(b&1) ans=(ans+a)%m;
        a=(a+a)%m;
        b=b>>1;
    }
    return ans;
}
ll qpow(ll a,ll b,ll m)
{
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1) ans=qmul(ans,a,m);
        a=qmul(a,a,m);
        b=b>>1;
    }
    return ans;
}
bool check(ll x)
{
    for(ll i=2;i*i<=x;i++)
        if(x%i==0) return false;
    return true;
}
int main()
{
    int T; scanf("%d",&T);
    while(T--){
        ll p; scanf("%lld",&p);
        ll q=p-1;
        while(!check(q)) q--;
        ll ans=1;
        for(ll i=q+1;i<=p-2;i++)
            ans=qmul(ans,qpow(i,p-2,p),p);
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}