162、【动态规划】AcWing ——4. 多重背包问题 I（C++/Python版本）

题目描述

原题链接：4. 多重背包问题 I

解题思路

（1）二维数组

递推公式：$dp[i][j]=max(dp[i-1][j-0\ast v[i]],dp[i-1][j-v[i]]+w[i],dp[i-1][j-2\ast v[i]]+w[i]+...+dp[i-1][j-s[i]\ast v[i]]+s[i]\ast w[i])$

遍历时候，在最内层设置一个for循环，寻找从一个都不选到选s[i]个第i个物品时，哪种情况取得最大价值。

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int dp[N][N];
int v[N], w[N], s[N];


int main() {
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)         cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 0; j <= m; j++) {
            // 一个都不选一直到选s[i]个，选择一种最大价值情况
            for(int k = 0; k <= s[i]; k++) {
            	// 注意这里的判定条件应该只为k * v[i] <= j时情况，而不能是让k * v[i] > j 时，取dp[i][j]=dp[i-1][j]，因为就算k*v[i]此时大于j，但是并不能代表其他k值时也大于j导致i这个背包情况被忽略。
                if(k * v[i] <= j){
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
                }
            }
        }
    }
    
    cout << dp[n][m] << endl;
    
    return 0;
    
}

Python

n, m = map(int, input().split())
v, w, s = [], [], []

for i in range(n):
    item = list(map(int, input().split()))
    v.append(item[0])
    w.append(item[1])
    s.append(item[2])

dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]

for i in range(1, n + 1):
    for j in range(m + 1):
        dp[i][j] = dp[i - 1][j]
        for k in range(s[i - 1] + 1):
            if k * v[i - 1] <= j:
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - k * v[i - 1]] + k * w[i - 1])

print(dp[n][m])

（2）一维滚动数组

在01背包一维滚动数组的基础上，内层再多个for循环。

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 110;

int n, m;
int dp[N];
int v[N], w[N], s[N];


int main() {
    cin >> n >> m;
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)         cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
    dp[0] = 0;
    
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = m; j >= 0; j--) {
            // 一个都不选一直到选s[i]个，选择一种最大价值情况
            for(int k = 0; k <= s[i] && j >= k * v[i] ; k++) {
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - k * v[i]] + k * w[i]);
            }
        }
    }
    
    cout << dp[m] << endl;
    
    return 0;
    
}