159、【动态规划】leetcode ——322. 零钱兑换：二维数组+一维滚动数组（C++/Python版本）

解题思路

原题链接：322. 零钱兑换

解题思路

（1）二维数组

• 动态规划五步曲：

（1）dp[i][j]含义： 在总额为j的前提下，从coins[0]-coins[i]中选择硬币，可用最少硬币组成的j的硬币个数。

（2）递推公式： dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - coins[i]])，完全背包递推公式取最小值

（3）dp数组初始化： 因为要求的是最小值，因此dp[i][0] = 0, 表示为总价值为0时什么都不选，其余都初始化为INT_MAX。当只有找当j - coins[i]为0的数，才会因为min()更新，如果减去的不为0，或者减去到之前没有被更新过的数，则还会保持INT_MAX。

（4）遍历顺序： 因为只要找到某种最小值的方案取的是MIN，因此先背包后物品，先物品后背包都可以。

（5）举例： （省略）

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        int n = coins.size();
        // 因为需要都初始化为INT_MAX，数组用memset都会转化成8bit无符号数，不方便
        vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(amount + 1,INT_MAX));     
        for(int i = 0; i <= n; i++)         dp[i][0] = 0;
        
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= amount; j++) {                                                
                if(coins[i - 1] <= j && dp[i][j - coins[i - 1]] != INT_MAX) {
                    dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - coins[i - 1]] + 1);
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j];
                }                    
            }
        }
        // 当为amount时为INT_MAX，说明在递推公式时二者都没有可以对应拼凑出的结果，返回-1
        return dp[n][amount] == INT_MAX ? -1 : dp[n][amount];
    }
};

Python

class Solution:
    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
        n = len(coins)
        dp = [[inf] * (amount + 1) for _ in range(n + 1)]
        for i in range(n + 1):
            dp[i][0] = 0
        
        for i in range(n + 1):
            for j in range(amount + 1):
                if coins[i - 1] > j:
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j]
                else:
                    dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - coins[i - 1]] + 1)
        
        return -1 if dp[n][amount] == inf else dp[n][amount]

（2）一维滚动数组

将递推公式转化为等价式dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i - 1]] + 1)，初始化与之相同，遍历顺序按完全背包滚动数组方式从小到大。

举例：

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        int n = coins.size();
        // 因为需要都初始化为INT_MAX，数组用memset都会转化成8bit无符号数，不方便
        vector<int> dp(amount + 1,INT_MAX);
        dp[0] = 0;        
        
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            for(int j = coins[i - 1]; j <= amount; j++) {                                                
                if(dp[j - coins[i - 1]] != INT_MAX) {
                    dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i - 1]] + 1);
                }  
            }
        }

        return dp[amount] == INT_MAX ? -1 : dp[amount];
    }
};

参考文章：322. 零钱兑换