南京大学 《软件分析》 06 Data Flow Analysis - Foundations II

前序

我们上节课用新的方法展现了数据流分析的方法。
那么对于我们的迭代算法，是否可以利用这种类似图分析的手段进行解答？
所以我们可以把不动点的方法关联到算法上，这样我们就可以用不动点定理去解决迭代的问题。

迭代算法-不动点定理

回忆一下全格上的不动点

这个f: L->L我们可以作为迭代中的F

只要我们证明F是单调的就可以将两部分联系在一起。

单调性证明

转换函数：
易得，因为Gen/Kill函数就是单调的，在之前的算法中如果00000某个字符变为1就不会变回0，所以这个过程一定是单调的。
join/meet函数：
以join为例子，

需要证明在满足偏序关系的两个元素对另外一个元素join之后还是满足偏序关系

根据定义，y和y ⊔ z是满足偏序关系的，而根据偏序的传递性，x和y ⊔ z是满足偏序关系的,同时y ⊔ z也是z的上界，对x和z来说，他们的最小上界x ⊔ z一定和y ⊔ z满足偏序关系，最小上界⊑上界，x ⊔ z ⊑ y ⊔ z

回到问题：

1. 一定能达到不动点
2. 一定是最大或者最小不动点
3. （复杂度问题，下面解决）

何时达到不动点

格的高度h是从top到bottom的最长路径长度

问题3被转化为最大迭代次数i会达到多少
我们假设一次迭代中，只有一个node变化，只移动一步
最坏情况下i=h*k
第三个问题的答案就是这个

may和must分析，格视角

两者都是从不安全的移动到安全的一点。

must analysis是用的语句优化为例，从不安全的“所有语句都可以优化”到最安全但没有用的“没有语句可以被优化”，在中间取到最大不动点，最接近truth

may analysis是用的可达性分析为例，从不安全的“没有变量可以reach”到最安全但没有用的“所有变量都有可能reach”，在中间取到最小不动点，最接近truth
product lattice被表示成了椭圆区域是为什么？还需要回定义看看。

解决的精度有多高？

Meet-Over-All-Paths Solution(MOP)

相比迭代算法，MOP需要找出所有的路径，然后通过转换函数进行计算，然后进行上下界求算。

问题：
一些路径不可执行，不够精准
没有边界，不可枚举，使得不够可行

迭代和MOP对比

迭代是在每个地方都做join，MOP是在最后做join

他们两个有什么关系？

我们用证明计算一下，迭代相比MOP精准度更低
如果F具有可分配性，分配律，两者精准度就是一样的
在之前的所有分析，位分析，Gen/Kill问题都是distributive的
那么有没有不是distributive的呢？

常量传播

在程序点P假设存在一个变量x，判断x是否保证在p点指向一个常量值。
这个算法是一个正向的数据流，那么他的格和转换函数是怎么样的呢？



等试验出来一起研究重写一下，格这块还是没弄明白，没有抽象，停留在具体的简单格上。

Worklist算法

一个迭代算法的优化

只遍历计算变化的BB，OUT不变化的不遍历，因为IN不变OUT就不会变

需要掌握的

理解迭代算法的算法视角
格和完全格的定义
理解不动点定理
如何总结格中的may和must分析
MOOP和迭代生成的结果的关系
常量传播分析
worklist算法