关于求解p^x mod q的问题

如题，其中p和q都是素数，而x是数值十分大的合数，则p^x mod q的一种解法可为：

第一步，可把x写成a*b的形式，即p^x=(p^a)^b，其中p^a是可以通过简单的人为计算得出的并且满足p^a>q，设c=p^a，则p^x通过降次得到c^b；

第二步，把c展开,写成c=dq+e的形式，则c^b=(dq+e)^b，由二项式定理可知c^b≡e^b(mod q)，则问题转化成了求解e^b(mod q)的问题；

第三步，用迭代的思想，重复第一步和第二步，直到p和x都为素数，这时候就很容易得解了。

例子：求解2^100 mod 7。

解：2^100=16^25=(7*2+2)^25，则2^100=(7*2+2)^25≡2^25(mod 7)

2^25=32^5=(7*4+4)^5，则2^25=(7*4+4)^5≡4^5(mod 7)

4^5=1024,1024=146*7+2,即1024≡2(mod 7)

所以，2^100≡2(mod 7)，即2^100 mod 7=2。

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