LIS（最长上升子序列）-优快云博客

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LIS的定义

LIS（Longest Increasing Subsequence）最长上升子序列
一个数的序列bi，当b1 < b2 < … < bS的时候，我们称这个序列是上升的。

对于给定的一个序列(a1, a2, …, aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, …, aiK)，

这里1 <= i1 < i2 < … < iK <= N。
比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。

这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).
你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

做法一：动态规划 O(N^2)

状态设计：dp[i]代表以a[i]结尾的LIS的长度
状态转移：dp[i]=max(dp[i], dp[j]+1) (1<=j< i, a[j]< a[i])
边界处理：dp[i]=1 (1<=i<=n)
时间复杂度：O(N^2)

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define MAXN 1000
using namespace std;
typedef long long ll;
int ans[MAXN+5];
int dp[MAXN+5];
int main()
{
	int n,re=1;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		cin>>ans[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
		dp[i]=1;
		for(int j=1;j<=i-1;++j){
			if(ans[j]<ans[i]) dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
		}
		re=max(re,dp[i]);
	}
	cout<<re<<endl;
 }

做法二：贪心+二分 O(N*logN)

维护一个单调的队列
新的元素，如果大于队尾元素，即插入队尾
否则二分查找比它大的最小元素，替换掉
最后队列长度即为LIS的解

如下例：
1 3 7 5 9 4 8
1
1 3
1 3 7
1 3 5
1 3 5 9
1 3 4 9
1 3 4 8

#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define MAXN 1000
using namespace std;
typedef long long ll;
int ans[MAXN+5];
vector<int> b;
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		cin>>ans[i];
		if(b.empty()) b.push_back(ans[i]);
		else{
			if(ans[i]>b.back()) b.push_back(ans[i]);
			else{
				vector<int>::iterator it=upper_bound(b.begin(),b.end(),ans[i]);
				*it=ans[i];
			}
		}
	}
	cout<<b.size()<<endl;
}