左神课堂 数组三连 进阶八视频

题目一

题意：

给你一串数字，然后给你一个数aim，让你求累加和为aim的长度最长的子串的长度。我们规定数字可正，可负，可零

假如给你一串数字：1，0，0，0，0，7，-1，1，10，5

aim等于7，那么最长的子串的长度是7，这个子串是：0，0，0，0，7，-1，1。累加和为7

思路：

我们枚举所有位置，假设我们枚举到了i位置，我们求以i位置为结束位置的满足条件的子串，然后定义一个len变量，维护最长的子串的长度。

我们定义一个map，key代表累加和，value代表最早出现这个累加和的位置。定义一个sum代表累加和，我们假设现在累加到了200位置，累加和为100，aim为40，如果我们要找满足条件的子串，只需要找到i位置前面的位置最早出现累加和为60的位置就可以，然后用i位置减去这个累加和为60的最早的位置，就是累加和为40的满足条件的子串。

代码：

​
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<limits.h>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cassert>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<stack>
#include<queue>
#include<deque>
#include<list>
#include<map>
#include<set>
#define mod 1000000007
#define MAXN 1000001
typedef long long ll;
using namespace std;
int n,aim;
int root[MAXN];
int GetMaxLen()
{
    int sum=0;
    int len=0;
    map<int,int>q;
    q[0]=-1;//必须先往map中加入这条记录
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        sum+=root[i];
        if(q.find(sum-aim)!=q.end())//如果map中有sum-aim，说明i位置前面的某个位置累加和为sum-aim
            len=max(len,i-q[sum-aim]);//更新len，q[sun-aim]代表i位置前面的位置最早出现累加和为sum-aim的位置
        if(q.find(sum)==q.end())//如果sum这个和在map中没有出现，往map中加入这个值，如果map中存在了sum，就不需要加了
            q[sum]=i;
    }
    return len;//最后返回这个len就好了
}
int main()
{
    cin>>n>>aim;
    for(int i=0;i<n;i++)
        cin>>root[i];
    cout<<GetMaxLen()<<endl;
}

​

上面题目的变形题目：

给你一串数字，让你求满足条件的最长的子串的长度，这个条件是字串奇数和偶数的个数相同。

思路：

我们将数字串中所有奇数变为-1，偶数变为1，然后求累加和为0的最长子串的长度，和上面的题目一模一样。

题目二：

题意：

给定一个数组arr，全是正数 ；一个整数aim，求累加和等于aim的，最长子数组，要求额外空间复杂度O(1)，时间复杂度O(n)

思路：

我们运用窗口来做，直接举例说明，假设给定的数组arr为[1,2,5,3,4]，aim等于8。

sum代表子数组的累加和，L,R代表窗口的左端点和右端点，len代表累加和等于aim的最长子数组的长度，初始时sum等于0，L,R都等于-1，我们遍历数组中的所有数，在遍历的过程中一共存在三种情况：

情况一：如果当前的sum小于aim，就让R往右移动一个单位，然后sum累加上arr[R]。

情况二：如果当前的sum大于aim，就让L往右移动一个单位，然后sum减去arr[L]。

情况三：如果当前的sum等于aim，我们就更新len，然后sum减去arr[L]，然后L往右移动一个单位。

代码：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<limits.h>
#include <sstream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cassert>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<stack>
#include<queue>
#include<deque>
#include<list>
#include<set>
#define mod 1000000007
#define MAXN 10001
typedef long long ll;
using namespace std;
int n,aim;
int arr[MAXN];
int GetMaxLen()
{
    int len=0;
    int l=-1,r=-1;
    int sum=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        if(sum==aim)//情况三
        {
            len=max(len,r-l);
            sum-=arr[l];
            l++;
        }
        else if(sum<aim)//情况一
        {
            r++;
            sum+=arr[r];
        }
        else//情况二
        {
            sum-=arr[l];
            l++;
        }
    }
    return len;
}
int main()
{
    cin>>n>>aim;
    for(int i=0;i<n;i++)
        cin>>arr[i];
    cout<<GetMaxLen()<<endl;
}

题目三：

题意：

给定一个数组arr，值可正，可负，可0；一个整数aim，求累加和小于等于aim的，最长子数组，要求时间复杂度O(n)

思路：

我们定义两个数组，

MaxnSum[ ]：MaxnSum[i]代表以i位置为开头的子数组的最小累加和为多少。

MaxnSumIndex[ ]：MaxnSumIndex[i]代表得到这个最小累加和到达的arr数组的位置。

如何求这两个数组，我们运用dp的思想，从数组的最后一位往前推，一共分为两种情况：

假设我们求MaxnSum[i]和MaxnSumIndex[i]

情况一：MaxnSum[i+1]位置上的数字>0:   MaxnSum[i]=arr[i]     

 MaxnSumIndex[i]=i

情况二：MaxnSum[i+1]位置上的数字<=0: MaxnSum[i]=arr[i]+MaxnSum[i+1]           

MaxnSumIndex[i]=MaxnSumIndex[i+1]

实现代码：

void GetMax()
{
    for(int i=n-1;i>=0;i--)//从数组最后一个位置往前推
    {
        if(i==n-1||MaxnSum[i+1]>0)//情况一
        {
            MaxnSum[i]=arr[i];
            MaxnSumIndex[i]=i;
        }
        else if(MaxnSum[i+1]<=0)//情况二
        {
            MaxnSum[i]=arr[i]+MaxnSum[i+1];
            MaxnSumIndex[i]=MaxnSumIndex[i+1];
        }
    }
}

下面就是这个题目最精华的部分了：

我们首先定义L   R   sum变量。

sum：累加和.

L：累加和为sum的子数组的头位置.

R：累加和为sum的子数组的末位置.

第一步：首先求出满足累加和小于aim的，以arr数组0位置为开头的子数组，求出这个子数组的终止位置R和这个子数组的累加和sum（通过MaxnSum数组和MaxnSumIndex数组求）。

第二步：然后减去arr[L]位置，更新L（此时的sum=sum-arr[L]）。

第三步：执行完第二步后，会分为两种情况：

情况一：sum+MaxnSum[R+1]小于aim，就更新sum和R，然后执行第二步。

情况二：sum+MaxnSum[R+1]大于aim，不更新，直接执行第二步。

最后，需要注意的是，我们要定义一个len变量来维护满足条件的子数组的长度，这个思路有很多边界需要自己coding，自己最好写一下。

代码：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<limits.h>
#include <sstream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cassert>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<stack>
#include<queue>
#include<deque>
#include<list>
#include<set>
#define mod 1000000007
#define MAXN 10001
typedef long long ll;
using namespace std;
int n,aim;
int arr[MAXN];
int MaxnSum[MAXN];
int MaxnSumIndex[MAXN];
void GetMax()
{
    for(int i=n-1;i>=0;i--)//从数组最后一个位置往前推
    {
        if(i==n-1||MaxnSum[i+1]>0)//情况一
        {
            MaxnSum[i]=arr[i];
            MaxnSumIndex[i]=i;
        }
        else if(MaxnSum[i+1]<=0)//情况二
        {
            MaxnSum[i]=arr[i]+MaxnSum[i+1];
            MaxnSumIndex[i]=MaxnSumIndex[i+1];
        }
    }
}
int GetMaxLen()//核心部分
{
    int L=-1,R=0,len=0;//这就是我们定义的变量
    int sum=0;
    while (R<n)//这个while循环是第一步
    {
        sum+=MaxnSum[R];
        if(sum>aim)
        {
            sum-=MaxnSum[R];
            break ;
        }
        R=MaxnSumIndex[R]+1;
    }
    len=max(len,R-L-1);//始终维护len变量
    while (R<n)//第二步和第三步
    {
        L++;
        sum-=arr[L];//减去子数组的头位置
        while (R<n)//继续尝试sum加上MaxnSum[R]是否小于aim
        {
            sum+=MaxnSum[R];
            if(sum>aim)//情况二
            {
                sum-=MaxnSum[R];
                break ;
            }
            //如果程序能够运行到这里，说明是情况一
            R=MaxnSumIndex[R]+1;//这个地方是一个细节操作
        }
        len=max(len,R-L-1);//维护len变量
    }
    return len;//返回最长的子数组的长度
}
int main()
{
    cin>>n>>aim;
    for(int i=0;i<n;i++)
        cin>>arr[i];
    GetMax();
    cout<<GetMaxLen()<<endl;
}

这个题目很难，思路上很难，代码coding上也不简单，最好自己亲自做一下。