2018 百度之星初赛b a题

一枚研究生er

于 2018-08-13 10:04:31 发布

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分类专栏：算法习题

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探讨如何通过移除和添加边来最大化图中顶点的度数，介绍了解决这一问题的具体步骤和算法实现。

度度熊最近似乎在研究图论。给定一个有 N 个点 (vertex) 以及 M 条边 (edge) 的无向简单图 (undirected simple graph)，此图中保证没有任何圈 (cycle) 存在。

现在你可以对此图依序进行以下的操作：

移除至多 K 条边。
在保持此图是没有圈的无向简单图的条件下，自由的添加边至此图中。

请问最后此图中度数 (degree) 最大的点的度数可以多大呢？

Input

输入的第一行有一个正整数 T，代表接下来有几笔测试资料。

对于每笔测试资料：第一行有三个整数 N,M, K。接下来的 MMM 行每行有两个整数 a 及 b，代表点 a 及 b 之间有一条边。点的编号由 0 开始至 N−1。

0≤K≤M≤2×10^5
1≤N≤2×10^5
0≤a,b<N
给定的图保证是没有圈的简单图
1≤T≤23
至多 2 笔测试资料中的 N>1000

Output

对于每一笔测试资料，请依序各自在一行内输出一个整数，代表按照规定操作后可能出现的最大度数。

Sample Input

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Sample Output

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2
4

思路：

我们找到度数最大的顶点（我们假设为z点），然后（操作一）计算出该图有多少个连通块，加上连通块的个数-1（z点所在的连通块不能够加边而且对于剩余的连通块，我们只能选择连通块里的一个点与z点相连，不能够选择两个点），（操作二）我们删除k条边，就可以以z点为端点加上k条边，这样度数又增加了k度。因为刚开始z点的度数有可能为n-1度，如果度数为n-1度，这个时候最大的度数就为n-1，那么操作二就是多余的，我们在最后判断一下就可以了。

其实删除边就是让图中产生新的连通块，然后用z点来连接新的连通块使得z点的度数变高。为什么删除边后连通块能够增加呢？

在一个没有圈的连通块中删除一条边就会形成一个独立的新的连通块（这个连通块是原先连通块的一部分）

代码：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cassert>
#include<string>
#include<cstdio>
#include<bitset>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<stack>
#include<queue>
#include<deque>
#include<list>
#include<set>
#define mod 1000000007
typedef long long ll;
using namespace std;
ll t;
ll n,m,k;
ll rent[20010];
int main()
{
    cin>>t;
    while (t--)
    {
        memset(rent,0,sizeof(rent));
        cin>>n>>m>>k;
        ll a,b;
        for(ll i=1;i<=m;i++)
        {
            cin>>a>>b;
            rent[a]++;
            rent[b]++;
        }
        ll maxz=-1;
        for(ll i=0;i<n;i++)
            maxz=max(rent[i],maxz);//找到度数最大的点，我们假设为z点
        if(m+1<n)//这个是判断给定的图是否只有一个连通块，如果只有一个连通块，n-m这个公式就不适用了，并且也不用加边了
            maxz+=n-m-1;
        maxz+=k;//这个地方我们删除一条边，就要以z点为端点再加入一条边
        maxz=min(maxz,n-1);//有可能z点的初始度数就为n-1，那么上面的加k操作就是多余的了，判断一下
        cout<<maxz<<endl;
    }
}