数学算法精讲-优快云博客

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前言：如有错误，恳请指正，感谢。

数学问题

1. 最大公约数与最小公倍数
2.大整数运算
3.素数
4.分数的四则运算
5.进制转换
6.位运算

1. 最大公约数与最小公倍数

1)、最大公约数
0、定义：整数 a 与 b 的最大公约数是指 a 与 b 的所有公约数中最大的那个公约数。
1、求解：在进行最大公约数的求解方法中，最常用的方法是辗转相除法，又名欧几里德算法。
其具体做法是：用较小数除较大数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。如果是求两个数的最大公约数，那么最后的除数就是这两个数的最大公约数。
当其用数学公式直观描述时，设两数为a、b(a ≥ b)，求 a 和 b 最大公约数(a, b)的步骤如下：
1)、用 a 除以 b(a ≥ b)，得 a ÷ b = q … r₁( 0 ≤ r₁ )；
2)、若 r₁ = 0，则 gcd(a, b) = b；
3)、若 r₁ ≠ 0，则再用 b 除以 r₁，得 b ÷ r₁ = q … r₂ ( 0 ≤ r₂ )；
4)、若 r₂ = 0，则 gcd(a, b) = r₁；若 r₂ ≠ 0，则继续用 r₁ 除以 r₂，…，如此下去，直到能整除为止。其最后一个余数为 0 的除数 r_n-1 即为 gcd(a, b) 的最大公约数。

#include <iostream>

using namespace std;

//==========================================================================
// 描述：计算最大公约数 
//==========================================================================
int gcd(int a, int b) {
	
	// 防止异常 
	if(b == 0)
		return a;	
//==================================================================================================================================
// 注：可以省去，因为当 a < b 的时候，在进行求余时，其结果值是 a 本身，间接交换了 a 与 b，但其最终结果值没有发生变化 
//	if(b > a)
//		swap(a, b);
//==================================================================================================================================			 
	int r = a % b;
	while(r != 0) {
		int temp = r;
		r = b % r;
		b = temp;
	}
	return b;
} 

int main()
{
	int m, n;
	while(scanf("%d %d",&m, &n) != EOF) {
		printf("%d\n", gcd(m, n));
	} 
	
	return 0;	
}

3)、递归式：设 a、b 均为正整数，则 gcd(a, b) = gcd(b, a%b)。(由上面的循环，也可以推出)，其证明如下：

证明：设 a = k * b + r，其中 k 和 r 分别为 a 除以 b 得到的商和余数。
则 r = a - k * b;
设 d 为 a、b 的一个公约数，可推出 d 也是 r 的公约数。( $\frac{a}{m} = \frac{b}{n}$ ， $\frac{r}{d} = \frac{a}{d} - k*\frac{b}{d} = m-k*n$ )
因此，d 也是 b 和 r 的公约数，及 d 是 b 和 a%b 的公约数。
因为，d 的任意性，所以 gcd(a, b) = gcd(b, a%b)。

已知：0 和任意一个整数 a 的最大公约数都是 a。

由上述条件可以得到递归的两个条件：
①、递归式：gcd(a, b) = gcd(b, a%b)
②、递归边界：gcd(a, 0) = 0

int gcd(int a, int b) {
	if(b == 0)		return a;					// 递归边界
	else 			return gcd(b, a%b);			// 递归式
}

更简洁的写法：

int gcd(int a, int b) {
	return !b ? a : gcd(b, a%b);				// 利用三目运算符，将其联系在一起
}

2)、最小公倍数
0、定义：正整数 a 与 b 的最小公倍数是指 a 与 b 的所有公倍数之中最小的那个。
1、求解：先求解 a、b 之间的最大公约数 d，则最小公倍数的结果值 $\frac{a}{d} * b$ 。

//==========================================================================
// 描述：计算最小公倍数 
//==========================================================================
int lcm(int a, int b) {
	int temp = gcd(a, b);				// 得到 a、b 之间的最大公约数 
	return a / temp * b;				// 得到结果值 
}

2.大整数运算

简述：当要进行运算的数据超出最大整形范围的时候，其无法使用已有的数据类型来运算，从而需要模拟加减乘除的过程。
1)、加法运算

//============================================================================================ 
// 描述：大整数的加法运算 
//============================================================================================ 
void add(string a, string b) {
	
	// 反转字符串，便于从末尾计算 
	reverse(a.begin(), a.end());
	reverse(b.begin(), b.end());
	a.length() > b.length() ? b.append(a.length()-b.length(), '0') : a.append(b.length()-a.length(), '0');			// 补全字符，使其维持在同一字符长度		
	
	// 大整数的加法运算 
	int carry = 0;									// 设置进位 
	vector<int> result;
	for(int i=0;i<a.length();i++) {
		int temp = a[i]-'0' + b[i]-'0' + carry;		// 相加 
		result.push_back(temp%10);					// 将余数添加到结果向量中 
		carry = temp / 10;							// 得到进位 
	} 
	if(carry != 0)									// 如果进位不为 0，需要额外补进位 
		result.push_back(carry);
	
	// 逆序输出 
	for(auto rit=result.rbegin();rit!=result.rend();rit++)  
		printf("%d",*rit);
}

2)、减法运算

//============================================================================================ 
// 描述：大整数的减法运算 
//============================================================================================ 
void sub(string a, string b) {
	
	// 如果字符串 a 代表的值 比 b 小，则进行交换、输出负号 
	if( ( a.length() < b.length() ) || ( a.length() == b.length() && a<b ) ) {
		swap(a, b);
		printf("-");
	}
	
	// 反转、补全	 
	reverse(a.begin(), a.end());
	reverse(b.begin(), b.end());
	a.length() > b.length() ? b.append(a.length()-b.length(), '0') : a.append(b.length()-a.length(), '0');		 
	
	// 进行模拟减法运算 
	vector<int> result;
	for(int i=0;i<a.length();i++) {
		if(a[i] < b[i]) {						// 当小于的时候，需要借位 
			a[i+1]--;							// 注：当进行交换之后，不存在最高位借位的情况，保证了字符串不会溢出	 
			a[i] += 10;
		}	
		result.push_back(a[i] - b[i]);	
	}
	
	// 输出，并设置开始无效 0 的标志位 
	int flag = 0;
	for(auto rit=result.rbegin();rit!=result.rend();rit++) {
		if( *rit != 0 )				// 去除开头的无效 0 
			flag = 1;
		if( flag == 1 )
			printf("%d",*rit);
	}
	if( flag == 0 )					// 如果标志位始终置 0，结果值为 0，没有输出，补输出 0 
		printf("0");	
}

3)、乘法运算

//============================================================================================ 
// 描述：大整数的乘法运算 
//============================================================================================ 
void multi(string aStr, string bStr) {
	int b = stoi(bStr);								// 将字符串转换成数字形式 
	
	int carry = 0;									// 设置进位 
	vector<int> result;								
	for(int i=aStr.length()-1;i>=0;i--) {			// 倒序计算 
		int temp = (aStr[i]-'0') * b + carry;		// 计算乘法结果 
		result.push_back(temp%10);					// 得到对应位的余数 
		carry = temp / 10;							// 进位的结果值 
	}
	while( carry != 0 ) {							// 进位的结果值进行按位添加 
		result.push_back(carry%10);
		carry /= 10;
	}	
	
	// 逆序输出 
	for(auto rit=result.rbegin();rit!=result.rend();rit++)  
		printf("%d",*rit);		
}

4)、除法运算

//============================================================================================ 
// 描述：大整数的除法运算 
//============================================================================================ 
void divide(string aStr, string bStr) {
	int b = stoi(bStr), r = 0;						// 将字符串转换成数字形式，并定义余数 
	
	vector<int> result;
	for(int i=0;i<aStr.length();i++) {				// 正序计算除法 
		r = r * 10 + (aStr[i]-'0');					// 计算 
		if( r < b ) 								// 如果当前值不够的时候，进行赋 0 
			result.push_back(0);
		else {										// 如果够，则进行除法计算，并得到余数 
			result.push_back(r / b);
			r %= b;
		}
	}
	
	// 正序输出，并设置开始无效 0 的标志位
	int flag = 0;
	for(auto it=result.begin();it!=result.end();it++) {
		if( *it != 0 )				// 去除开头的无效 0 
			flag = 1;
		if( flag == 1 )
			printf("%d",*it);
	}
	if( flag == 0 )					// 如果标志位始终置 0，结果值为 0，没有输出，补输出 0 
		printf("0");
		
	printf(" 余数结果值：%d", r);
}

补：算法笔记中的写法记录

#include <iostream>

using namespace std;

//============================================================================================ 
// 描述：定义格式大整数结构体变量 
//============================================================================================ 
struct begNumInit{
	int num[1000] = {0};
	int len = 0;
};

//============================================================================================ 
// 描述：将字符串转换为格式大整数 
//============================================================================================ 
begNumInit changeNum(string temp) {
	begNumInit result;
	
	result.len = temp.length();							// 得到长度 
	for(int i=0;i<result.len;i++)						// 倒序存储 
		result.num[i] = temp[result.len-1-i] - '0';
	
	return result;
}

//============================================================================================ 
// 描述：格式大整数的输出 
//============================================================================================ 
void Print(begNumInit temp) {
	for(int i=temp.len-1;i>=0;i--)
		printf("%d",temp.num[i]);
	printf("\n");
}

//============================================================================================ 
// 描述：大整数的加法运算 
//============================================================================================ 
begNumInit add(string aStr, string bStr) {
	
	begNumInit result;
	begNumInit a = changeNum(aStr);
	begNumInit b = changeNum(bStr);
	
	int carry = 0;
	for(int i=0; i < a.len || i < b.len; i++) {
		int temp = a.num[i] + b.num[i] + carry;
		result.num[result.len++] = temp % 10;
		carry = temp / 10;
	}
	if(carry != 0)
		result.num[result.len++] = carry;
	
	return result;
}

//============================================================================================ 
// 描述：大整数的减法运算 
//============================================================================================ 
begNumInit sub(string aStr, string bStr) {
	
	// 如果字符串 a 代表的值 比 b 小，则进行交换、输出负号
	if( ( aStr.length() < bStr.length() ) || ( aStr.length() == bStr.length() && aStr<bStr ) ) {
		swap(aStr, bStr);
		printf("-");
	}
	
	begNumInit result;
	begNumInit a = changeNum(aStr);
	begNumInit b = changeNum(bStr);	

	// 借位运算  
	for(int i=0; i < a.len || i < b.len; i++) {
		if(a.num[i] < b.num[i]) {
			a.num[i+1]--;
			a.num[i] += 10;
		}
		result.num[result.len++] = a.num[i] - b.num[i];
	}
	
	// 清除前面无效 0 的位数，并保留最后一位的结果值，保证有结果值输出 
	while( result.len-1 >= 1 && result.num[result.len-1] == 0 )
		result.len--;
	
	return result;
}

//============================================================================================ 
// 描述：大整数的乘法运算 
//============================================================================================ 
begNumInit multi(string aStr, string bStr) {
	
	begNumInit result;
	begNumInit a = changeNum(aStr);
	int b = stoi(bStr);						// 在计算乘法的时候，需要将字符串转换成数值
	
	// 进位运算 
	int carry = 0;
	for(int i=0;i<a.len;i++) {
		int temp = a.num[i] * b + carry;
		result.num[result.len++] = temp % 10;
		carry = temp / 10;
	}
	while( carry != 0 ) {					// 在计算进位的时候，将其按位进位 
		result.num[result.len++] = carry % 10;
		carry /= 10;
	}
	
	return result;
}

//============================================================================================ 
// 描述：大整数的除法运算，并将余数的结果值作为形参进行传递 
//============================================================================================ 
begNumInit divide(string aStr, string bStr, int &r) {
	
	begNumInit result;
	begNumInit a = changeNum(aStr);
	int b = stoi(bStr);		
	
	// 在进行除法运算的时候，其商的位数不可能超过 a 的长度，因此可以先假设长度一致 
	result.len = a.len;
	for(int i=a.len-1;i>=0;i--) {
		r = r * 10 + a.num[i];				// 进行余数的加和运算 
		if( r < b )							// 如果当前值，不够进行除法运算的时候，结果置 0 
			result.num[i] = 0;	
		else {								// 否则，进行除法运算，并保留余数 
			result.num[i] = r / b;
			r %= b;
		}	
	}
	
	// 清除前面无效 0 的位数，并保留最后一位的结果值，保证有结果值输出 
	while( result.len-1 >= 1 && result.num[result.len-1] == 0 )
		result.len--;
	
	return result;
}

int main()
{
	string a, b;
	cin >> a >> b;
			
	Print( add(a, b) );
	Print( sub(a, b) );
	Print( multi(a, b) );
	
	int r = 0;
	Print( divide(a, b, r) );
	printf("余数为：%d\n", r);
	
	return 0;
}

3.素数

简述：素数，又称为质数，除了 1 和本身之外，不能被其他的数整除。注：1 不是素数。

1)、直接判断。（因为在非素数中，其中一个质因子的值一定小于等于 $\sqrt{num}$ ，所以可以减小判断范围）

bool isprime(int num)
{
	if ( num <= 1 )
		return false;
	for ( int i=2;i*i<=num;i++ ) {
		if ( num%i==0 )
			return false;
	}
	return true;
}

2)、埃氏筛法。筛去已知素数的整数倍。主要用于找出范围的所有素数。

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

vector<int> findPrime(int num) {
	int range = num + 1; 				// 从 1 开始，便于赋值，防止溢出 
	bool isPrime[range] = {0};			// 用于存放素数，先初始化全部都为素数，然后进行筛选 
	
	vector<int> result;	
	for(int i=2;i<range;i++) {			// 从 2（最小的素数开始） 
		if( isPrime[i] == false ) {		// 如果是素数，筛去其所有整数倍 
			result.push_back(i);		
			for(int j=i*2;j<range;j+=i) 
				isPrime[j] = true;
		}
	}
	
	return result;
} 

int main()
{	
	vector<int> v = findPrime(97);
	for(int i=0;i<v.size();i++)
		printf("%d ",v[i]);
	
	return 0;
}

运算结果如下所示：

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

4.分数的四则运算

简述：在进行分数的四则运算的时候，其主要分为以下三个部分的操作。

①、分数的表示与化简
②、分数的四则运算
③、分数的输出

在 B1034 有理数四则运算中体现的较为充分。链接：B1034 有理数四则运算

5.进制转换

简述：在进行进制转换的时候，最常见的两种情况是：

①、将 Q 进制数 x = a₁a₂…a_n 转换为十进制数 y。公式如下：
y = a₁*Q^n-1 + a₂*Q^n-2 + … + a_n-1*Q + a_n

②、将十进制数 y 转换成 Q 进制 z。通常采用“除基取余法”，就是指每次将待转换的数除以 Q，然后将得到的余数作为低位存储，而商继续除以 Q 并进行上面的操作，当最后商为 0 的时候，将所有位从高到底输出即可。例如，将十进制 11 转换成二进制数：

11 除以 2，得商为 5，余数为 1；
5 除以 2，得商为 2，余数为 1；
2 除以 2，得商为 1，余数为 0；
1 除以 2，得商为 0，余数为 1；
将余数倒序输出，得到 1011，即为 11 的二进制数。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cmath>

using namespace std;

//=============================================================
// 描述：将一个数值由 10 进制 转换为 Q 进制 
//=============================================================
void toQ(int num, int q) {
	if(num == 0)						// 当待转换的值为 0 的时候，直接输出即可
		printf("0\n");
	else {
		vector<int> v;
		while(num) {
			v.push_back(num%q);			// 求余
			num /= q;					// 得商
		}
		// 倒序输出
		for(auto rit=v.rbegin();rit!=v.rend();rit++)
			printf("%d",*rit);
	}
} 

//=============================================================
// 描述：将一个 Q 进制 数值转换为 10 进制 
//=============================================================
void toDecimal(int num, int q) {
	int result = 0;
	string numStr = to_string(num);							// 将其转化成字符串的形式，便于分割字符
	int numLen = numStr.length();
	
	for(int i=0;i<numLen;i++) 
		result += (numStr[i]-'0') * pow(q, numLen-1-i);		// 利用公式计算
	
	printf("%d", result);
}

int main()
{	
	toQ(100, 8);
	printf("\n=======================================\n");
	toDecimal(144, 8);
	
	return 0;
}

6.位运算

位运算	含义	语法	效果
&	位与	a & b	整数 a 和 b 按二进制对齐，按位进行与运算（除 11(都为真时)，结果为 1，其他均为 0） > 都真才为真
\|	位或	a \| b	整数 a 和 b 按二进制对齐，按位进行或运算（除 00(都为假时)，结果为 0，其他均为 1） > 有真即为真
^	位异或	a ^ b	整数 a 和 b 按二进制对齐，按位进行异或运算（相同时为 0，不同时为 1）
~	位取反	~a	整数 a 的二进制数每一位进行取反，即 1 变 0，0 变 1