《算法设计与分析》-最小生成树随笔

1、概述：设G=(V,E)是无向连通带权图，即一个网络。E中每条边（v,w）的权为c[v][w]。如果G的子图G~是一颗包含G的所有顶点的树，则称G~为G的生成树。并且生成树上面的各边权的总和称为该生成树的耗费。所以在所有的G的生成树中，消耗最小的生成树就是G的最小生成树。

2、最小生成树性质:其中Prim和Kruskal算法都是可以看做设计贪心算法策略的例子。

设G=(V，E）是一个连通网络，U是顶点集V的一个非空真子集。若(u，v）是G中一条“一个端点在U中（例如：u∈U），另一个端点不在U中的边（例如：v∈V-U），且（u，v）具有最小权值，则一定存在G的一棵最小生成树包括此边（u，v）。

3、Prim算法:设置G=（V，E）是连通的带权图，V={1,2，。。。，n}。构造G的最小生成树的Prim算法的基本思想是:首先置S={1}，然后，只要S是V的真子集，就进行该贪心选择吧：选取满足条件的i属于S，j属于V-S，且c[i][j]最小的边，将顶点j添加到S中。所以最后进行到S=V为止即可。

下面贴出Prim算法的代码段:

public static void prim(int n,float[][] c){
//prim算法
float[] lowcost = new float[n+1];
int[] closest = new int[n+1];
boolean[] s = new boolean[n+1];
s[1] = true;
for(int i =2;i<=n;i++){
lowcost[i] = c[1][i];
closest[i] = 1;
s[i] = false;
}

for(int i =1;i<n;i++){
float = min = Float.MAX_VALUE;
int j = 1;
for(int k =2;k<=n;k++){
if((lowcost[k]<min)&&(!s[k])){
min = lowcost[k];
j = k;
s[j] = true;
for(int k = 2;k<=n;k++)
if((c[j][k] < lowcost[k])&&(!s[k])){
lowcost[k] = c[j][k];
closest[k] = j;
}
}
}
所以上述的prim所需要的计算时间为O(n2)。

4、KrusKal算法:当图的边数为e时，KrusKal算法的所需要的时间是O(eloge)。当e=O（n2）时，该算法要比Prim算法差一些，但是当e=o(n2)时，该算法要好得多。

  我们给定无向连通带权图G=（V,E），V={1,2，。。。，n}。KrusKal算法构造的思想为:首先将n个顶点看作是n个孤立的分支。将所有边按照权值大小从小到大的排序，从第一条边开始依次顺序的查看每一条边，当查看到第k条边(v,w)时，如果端点v和w分别是当前两个不同的连通分支T1和T2中的顶点时，就使用边（v,w）将T1和T2连接成为一个连通分支，然后继续查看第k+1条边；如果端点v和w在当前的同一个连通分支中，就直接在查看第k+1条边。这个过程进行到只剩下一条边为止即可，此时这个连通分支就是G的一颗最小生成树。