[HEOI2016/TJOI2016]求和

最新推荐文章于 2020-08-18 23:02:43 发布

psc233

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题意：给你n,让你求一个式子如下

$f(n)=\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{i}S(i,j)*j!*2^_{j}$

解析:我们知道第二类斯特林数的通项公式为

$S(n,m)=\frac{1}{m!}\sum_{i=0}^{m}(-1)^{i}*\binom{m}{i}*(m-i)^{n}$

所以上式就变为

$f(n)=\sum_{i=0}^{n}i!*2^{i}*\frac{1}{i!}*\sum_{j=0}^{i}(-1)^{j}*\binom{i}{j}*\sum_{k=0}^{n}(i-j)^{k}$

然后就是常见操作，把组合数拆开

$f(n)=\sum_{i=0}^{n}i!*2^{i}*\sum_{j=0}^{i}\frac{(-1)^{j}}{j!}*\frac{sum(i-j)}{(i-j)!}$

其中sum(i)就是上面那个等比数列的和

所以我们发现里面那个式子就是卷积的形式

那么直接NTT就行了

// luogu-judger-enable-o2
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int MAXN=5e5+10;
const ll mod=998244353;
ll g[MAXN],fac[MAXN],f[MAXN];
int rev[MAXN],k,len,n;
ll ans;
ll ksm(ll x,ll y)
{
	ll ans=1;
	for (;y;y>>=1,x=(x*x)%mod) if (y&1) ans=(ans*x)%mod;
	return ans;	
}
void NTT(ll *a,int len,int t) 
{
    for (int i=0;i<len;i++) if (i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
    for (int i=1;i<len;i<<=1) 
    {
        int s=(i<<1);
        ll wn=ksm(3,(mod-1)/s);
        if (t==-1) wn=ksm(wn,mod-2);
        for (int j=0;j<len;j+=s) 
        {
            ll w=1;
            for (int k=j;k<j+i;k++)
             {
                 ll x=a[k]; ll y=(a[k+i]*w)%mod;
                 a[k]=(x+y)%mod; a[k+i]=(x-y+mod)%mod;
                 w=(w*wn)%mod;
             }
        }
    }
    if (t==-1) {
        ll w=(ksm(len,mod-2));
        for (int i=0;i<len;i++) a[i]=(a[i]*w)%mod;
    }
}
int main()
{
     scanf("%d",&n);
     g[0]=1; fac[0]=1;
     for (int i=1;i<=n;i++) fac[i]=fac[i-1]*(long long)i%mod;
     for (int i=1;i<=n;i++) g[i]=g[i-1]*ksm(i,mod-2)%mod;
     for (int i=2;i<=n;i++) f[i]=(ksm(i,n+1)+mod-1)%mod*ksm(i-1,mod-2)%mod*g[i]%mod;		
     for (int i=1;i<=n;i++) if (i&1) g[i]=(mod-g[i])%mod;
     f[1]=n+1;	f[0]=1;
     for (len=1;len<=2*n;len<<=1) k++;
     for (int i=0;i<len;i++) rev[i]=((rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(k-1)));
     NTT(f,len,1); NTT(g,len,1);
     for (int i=0;i<len;i++) f[i]=(f[i]*g[i])%mod;
     NTT(f,len,-1);
     long long ans=0;
     for (int i=0;i<=n;i++) ans=(ans+f[i]*fac[i]%mod*ksm(2,i)%mod)%mod;
     cout << ans << endl; 	
}