BZOJ 2301 Problem b 莫比乌斯反演-优快云博客

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本文探讨了在给定范围内求解特定条件下的数对(x,y)数量问题，利用容斥原理简化计算过程，通过预处理欧拉函数μ(d)的前缀和，实现了高效查询算法。

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给出 $T≤5e4T\leq5e4$ 组数据，每次询问多少个数对 $(x, y)$ 满足 $a≤x≤ba\leq x\leq b$ ， $c≤y≤dc\leq y \leq d$ 并且 $g c d (x, y) = k$ 。简单容斥之后可以得到要求的实际上是这个。假设 $n≤mn\leq m$
$∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)=k]\quad \sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m [gcd(i,j)=k]$
$=∑i=1n/k∑j=1m/k[gcd(i,j)=1]=\sum\limits_{i=1}^{n/k}\sum\limits_{j=1}^{m/k}[gcd(i,j)=1]$
$=∑i=1n/k∑j=1m/k∑d∣gcd(i,j)μ(d)=\sum\limits_{i=1}^{n/k}\sum\limits_{j=1}^{m/k}\sum_{d|gcd(i,j)}\mu(d)$
$=∑d=1n/kμ(d)[nkd][mkd]=\sum\limits_{d=1}^{n/k}\mu(d)[\frac{n}{kd}][\frac{m}{kd}]$
处理出 $μ(d)\mu(d)$ 前缀和，对后面的分块即可。
复杂度是 $O(Tw)O(T\sqrt{w})$ ， $w$ 是最大值域。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const ll INF=LONG_LONG_MAX;
const int N=5e4+7;
int pri[N],tot=0;
bool ok[N];
int mu[N],sum[N];
void getmu() {
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=50000;i++) {
		if(!ok[i]) pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=50000;j++) {
			ok[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]) mu[i*pri[j]]=-mu[i];
			else { mu[i*pri[j]]=0;break; }
		}
	}
	sum[1]=mu[1];
	for(int i=2;i<=50000;i++) sum[i]=sum[i-1]+mu[i];
} 
int k;
ll solve(int n,int m) {
	n/=k,m/=k;
	if(n>m) swap(n,m);
	ll ans=0;
	for(int l=1,r=0;l<=n;l=r+1) {
		r=min(n/(n/l),m/(m/l));
		ans+=1LL*(sum[r]-sum[l-1])*(n/l)*(m/l); 
	}
	return ans;
}
int main() {
	int T;
	int a,b,c,d;
	getmu(); 
	scanf("%d",&T); 
	while(T--) {
		scanf("%d%d%d%d%d",&a,&b,&c,&d,&k); 
		printf("%lld\n",solve(b,d)-solve(b,c-1)-solve(a-1,d)+solve(a-1,c-1));
	}
	return 0;
}