PAT知识点-堆

基本定义

​ 堆是一个完全二叉树，可以用数组来映射这个树。
​ 建立堆就是根据一个已知的未排序的数组，根据建堆的规则，将数组中的元素按照一定规则重新排列而已

堆的分类

​ 大根堆：根结点是最大的元素，每个结点都大于等于其左右孩子结点
​ 小根堆：根结点是最小的元素，每个结点都小于等于其左右孩子结点

堆的特点

​ 由于堆的第一个元素总是最大/最小的，所以每次取堆的第一个元素就能得到整个堆中的最值，并且！每次取完这个最值后，[堆可以进行调整，保持第一个元素是堆的最值]，就是优先队列！

堆的建立

​ 就是不断调整/筛选的过程

• 调整/筛选：

  ​ 要调整结点x，就把结点x和其左右结点中最大的孩子交换，对于结点x和其左右结点构成的树而言，就成了一个堆。
  ​ 从最后一个有分支的结点开始调整，直到根节点也调整了，就ok了。为什么这样就ok？这其实是一个分治的思想，要想在一个树上建立一个堆，首先要把树的最底下的子树建立成堆，然后上面再执行同样的操作，整体就成堆了。
  ​ 比如a，b，c， b，c是a的子树， b，c成堆后，b，c就是其堆的最值，这样再跟a的根节点较量一番，a的根节点更新后，整体就成堆了。

int heap[MAXN+1];//MAXN为堆元素个数,从heap[1]开始存元素

//给出要调整元素的位置low和最后一个元素的位置high，将该元素向下调整到相应的位置，这里如果跟顶点小于子节点，则和子节点交换
void downAdjust(int low,int high)
{
    int i=low,j=i*2;
    while(j<=high)//只要左子节点还没超过界限，表明还能继续下调
    {
        //让j指向左右节点中较大的那一个
        if(j+1<=high&&heap[j+1]>heap[j])
            j++;
        //如果该较大的子节点大于根节点
        if(heap[j]>heap[i])
        {
            //根节点和子节点交换
            swap(heap[low],heap[j]);//swap在头文件algorithm里
            //i指向子节点原来的位置，继续下调
            i=j;
            j=i*2;
        }
        else//左右子节点都没有根节点大，不能继续下调了，直接结束
        {
            break;
        }
    }
}

//根据数组，建立堆，n为堆的元素个数
void createHeap(int n)
{
    //从最后一个非叶节点到根节点，依次向下调整，想想画面
    for(int i=n/2;i>=1;i--)
    {
        downAdjust(i,n);
    }
}

这里注意heap[]数组从下标1开始存放数据，这是为了在处理完全二叉树的时候方便地索引左右子节点。

完全二叉树的最后一个非叶子结点的位置为n/2向下取整

堆排序

​ 拿大根堆来说，堆排序的实质就是把当前最大的元素（堆顶）和堆中最后一个元素交换，此时堆中的最大值排到了heap数组的最后，此时在[1,high-1]的范围内把现在堆顶（已交换）向下调整，调整完后，在[1,high-1]范围内又形成了一个大根堆，之后重复交换、调整的步骤，直到堆只有1个元素就行了。结束后，heap就会变成一个从小到大排列的数组。

void heapSort()
{
    createHeap();//先建立一个堆
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        swap(heap[1],heap[i]);//堆顶和堆尾互换
        downAdjust(1,i-1);//在[1,i-1]范围内将其重新调整为堆
    }
}