2021.7.27 作业
- 令
A
=
{
1
,
2
,
5
,
8
,
9
}
\mathbf{A} = \{1, 2, 5, 8, 9\}
A={1,2,5,8,9}, 写出
A
\mathbf{A}
A 上的 “模 2 同余” 关系及相应的划分.
d e f i : R = { ( x , y ) ∈ A × A ∣ x m o d 2 = y m o d 2 } defi :\mathbf{R} = \{(x, y) \in \mathbf{A \times A} \vert x \mod 2 = y \mod 2\} defi:R={(x,y)∈A×A∣xmod2=ymod2}
R = { ( 1 , 5 ) , ( 1 , 9 ) , ( 5 , 9 ) , ( 2 , 8 ) } \mathbf{R} = \{ (1, 5), (1, 9), (5, 9), (2, 8) \} R={(1,5),(1,9),(5,9),(2,8)}
划分如下： p = { { 1 , 5 , 9 } , { 2 , 8 } } \mathcal{p}=\{\{1, 5, 9 \}, \{2, 8 \} \} p={{1,5,9},{2,8}} -
A
=
{
1
,
2
,
5
,
8
,
9
}
\mathbf{A} = \{1, 2, 5, 8, 9\}
A={1,2,5,8,9}, 自己给定两个关系
R
1
\mathbf{R}_1
R1
和 R 2 \mathbf{R}_2 R2, 并计算 R 1 R 2 \mathbf{R}_1 \mathbf{R}_2 R1R2 , R 1 + \mathbf{R}_1^+ R1+, R 1 ∗ \mathbf{R}_1^* R1∗
d
e
f
i
:
R
1
R
2
=
{
(
x
,
y
)
∣
∃
(
x
,
z
)
∈
R
1
and
(
z
,
y
)
∈
R
2
}
defi: \mathbf{R}_1\mathbf{R}_2 = \{(x, y) \vert \exists (x, z) \in \mathbf{R}_1 \textrm{ and } (z, y) \in \mathbf{R}_2\}
defi:R1R2={(x,y)∣∃(x,z)∈R1 and (z,y)∈R2}
R
1
=
{
(
1
,
2
)
,
(
1
,
5
)
,
(
2
,
8
)
}
,
R
2
=
{
(
5
,
8
)
,
(
2
,
5
)
}
\mathbf{R_1}=\{(1,2),(1,5),(2,8)\}, \mathbf{R_2}= \{(5,8),(2,5)\}
R1={(1,2),(1,5),(2,8)},R2={(5,8),(2,5)}
R
1
R
2
=
{
(
1
,
5
)
,
(
1
,
8
)
}
\mathbf{R_1R_2}=\{(1,5),(1,8)\}
R1R2={(1,5),(1,8)}
R
+
=
⋃
i
=
1
∣
A
∣
R
i
.
\mathbf{R}^+ =\bigcup_{i=1}^{\vert A\vert} \mathbf{R_i}.
R+=⋃i=1∣A∣Ri.
R
∗
=
R
+
∪
A
0
,
A
0
=
{
(
x
,
x
)
∣
x
∈
A
}
\mathbf{R}^* =\mathbf{R}^+ \cup \mathbf{A}^0, \mathbf{A}^0=\{(x, x)\vert x \in A\}
R∗=R+∪A0,A0={(x,x)∣x∈A}
R
1
=
{
1
}
,
R
2
=
{
2
}
\mathbf{R_1}=\{1\}, \mathbf{R_2}=\{2\}
R1={1},R2={2}
R
+
=
{
1
,
2
,
11
,
12
,
22
,
111
,
112
,
121
,
211
,
122
,
…
}
\mathbf{R}^+ =\{1,2,11,12,22,111,112,121,211,122,\dots \}
R+={1,2,11,12,22,111,112,121,211,122,…}
R
∗
=
{
ϵ
,
1
,
2
,
11
,
12
,
22
,
111
,
112
,
121
,
211
,
122
,
…
}
\mathbf{R}^* =\{\epsilon,1,2,11,12,22,111,112,121,211,122,\dots \}
R∗={ϵ,1,2,11,12,22,111,112,121,211,122,…}
-
查阅粗糙集上下近似的定义并大致描述.
在分类时，白色的物体是一类，黑色的物体是一类。但是如果引入其他的属性，比如方圆，则可以分为四类。但是如果出现一个颜色或者形状不确切的物体，则不好去划分这个物体的分类，粗糙集就可以研究这种情况下的分类问题。 -
举例说明你对函数的认识.
集合 X \mathbf{X} X经过一定条件 f \mathbf{f} f的变换能够转变成另一个集合 Y \mathbf{Y} Y，函数就是对 f \mathbf{f} f描述。不过存在一定的限制条件，一个集合, X \mathbf{X} X中的每一个元素与 Y \mathbf{Y} Y中的每一个元素一一对应，反之不然。
即从图像来上看，在二维直角坐标系下，任意平移y轴，函数图像的线条有且只有一点与y轴相交。其反函数成立的条件是任意平移x轴，函数图像的线条有且只有一点与x轴相交。 -
范数（defi and exp: https://blog.youkuaiyun.com/minfanphd/article/details/119106708 ，自己给定一个矩阵并计算其各种范数.
l p = ( ∑ i , j n ∣ x i , j ∣ p ) 1 p , 令 A = ( 1 2 3 0 ) , l 0 = 3 , l 1 = 6 , l 2 = 14 , l ∞ = 3 。 \bm{l_p}=\left(\sum\limits_{i,j}^n \vert x_{i,j} \vert^p\right)^\frac{1}{p},令\mathbf{A}=\left(\begin{matrix} 1&&2 \\ 3&&0 \end{matrix}\right),\\\bm{l_0}=3,\bm{l_1}=6,\bm{l_2}=\sqrt{14},\bm{l_\infty}=3。 lp=(i,j∑n∣xi,j∣p)p1,令A=(1320),l0=3,l1=6,l2=14,l∞=3。 -
解释 min ∑ ( i , j ) ∈ Ω ( f ( x i , t j ) − r i j ) 2 . \min \sum\limits_{\left(i,j\right)\in\Omega}(f(\mathbf{x}_i,\mathbf{t}_j)-r_{ij})^2. min(i,j)∈Ω∑(f(xi,tj)−rij)2.
Ω 为 评 分 表 R 中 非 零 元 素 的 位 置 集 合 ， ( i , j ) 为 Ω 中 的 一 个 元 素 ， x , t , r 分 别 表 示 用 户 信 息 ， 商 品 信 息 ， 以 及 评 分 表 。 这 个 式 子 表 示 对 将 商 品 信 息 与 用 户 信 息 经 过 一 定 的 函 数 转 换 再 减 去 对 应 的 评 分 ， 然 后 平 方 ， 然 后 找 出 得 到 的 最 小 值 。 \Omega为评分表\mathbf{R}中非零元素的位置集合，(i,j)为\Omega中的一个元\\素，\mathbf{x,t,r}分别表示用户信息，商品信息，以及评分表。\\ 这个式子表示对将商品信息与用户信息经过一定的函数转换\\再减去对应的评分，然后平方，然后找出得到的最小值。 Ω为评分表R中非零元素的位置集合，(i,j)为Ω中的一个元素，x,t,r分别表示用户信息，商品信息，以及评分表。这个式子表示对将商品信息与用户信息经过一定的函数转换再减去对应的评分，然后平方，然后找出得到的最小值。
note:
U
\mathbf{U}
U 是全集
所有子集的集合
2
U
2^\mathbf{U}
2U
C
⊆
D
\mathbf{C} \subseteq \mathbf{D}
C⊆D
set family
A
\mathcal{A}
A
C
∈
2
U
=
A
\mathbf{C} \in 2^\mathbf{U} = \mathcal{A}
C∈2U=A
D
∈
2
U
=
B
\mathbf{D} \in 2^\mathbf{U} = \mathcal{B}
D∈2U=B
R
⊆
A
×
B
\mathbf{R} \subseteq \mathcal{A} \times \mathcal{B}
R⊆A×B
U
=
{
1
,
2
}
\mathbf{U} = \{1, 2\}
U={1,2}
A
=
2
U
=
{
∅
,
{
1
}
,
{
2
}
,
{
1
,
2
}
}
\mathcal{A} = 2^\mathbf{U} = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}
A=2U={∅,{1},{2},{1,2}}
R
⊆
=
{
(
∅
,
∅
)
,
(
∅
,
{
1
}
)
,
(
∅
,
{
2
}
)
,
(
∅
,
{
1
,
2
}
)
,
(
{
1
}
,
{
1
}
)
,
(
{
1
}
,
{
1
,
2
}
)
,
(
{
2
}
,
{
2
}
)
,
(
{
2
}
,
{
12
}
)
,
(
{
1
,
2
}
,
{
1
,
2
}
)
}
\mathbf{R}^{\subseteq} = \{(\emptyset, \emptyset), (\emptyset, \{1\}), (\emptyset, \{2\}), (\emptyset, \{1, 2\}), (\{1\}, \{1\}), (\{1\}, \{1, 2\}), (\{2\}, \{2\}), (\{2\}, \{1 2\}), (\{1, 2\}, \{1, 2\})\}
R⊆={(∅,∅),(∅,{1}),(∅,{2}),(∅,{1,2}),({1},{1}),({1},{1,2}),({2},{2}),({2},{12}),({1,2},{1,2})}
∥ X ∥ 0 \|\mathbf{X}\|_0 ∥X∥0
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