快速幂

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让计算机很快地求出a^bab

暴力相乘的话，电脑要计算 bb 次。用快速幂，计算次数在 log_2(b)log2​(b) 级别，很实用。

原理 I

(1)如果将 aa 自乘一次，就会变成 a^2a2 。再把 a^2a2 自乘一次就会变成 a^4a4 。然后是 a^8a8…… 自乘 nn 次的结果是 a^{2^{n}}a2n 。对吧……

(2)a^xa^y = a^{x+y}axay=ax+y，这个容易。

(3)将 bb 转化为二进制观看一下：

比如 b = (11)_{10}b=(11)10​ 就是 (1011)_{2}(1011)2​ 。从左到右，这些 11 分别代表十进制的 8,2,18,2,1。可以说 a^{11} = a^8 × a^2 × a^1a11=a8×a2×a1。

为什么要这样表示？因为在快速幂的过程中，我们会把 aa 自乘为 a^2a2，然后 a^2a2 自乘为 a^4a4……像上面第一条说的。

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过程会是这样：

（好长，可以不看，如果要阅读下面的模拟过程的话，要慢慢地看噢）

·假设我们拿到了 aa，并且 b = 11b=11。想求 a^{11}a11，但是又不想乘11次，有点慢。

·以电脑视角稍稍观察一下 b = 11b=11，二进制下是 b = 1011b=1011。

·制作一个 basebase。现在 base = abase=a，表示的是，a^1 = aa1=a。待会 basebase 会变的。

·制作一个 ansans，初值 11，准备用来做答案。

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while(b > 0)
{

·循环一。看，b（二进制）的最后一位是 1 吗？ 是的。这代表 a^{11} = a^8 × a^2 × a^1a11=a8×a2×a1 中的“ × a^1×a1 ”存在。所以 ans *= base    

if(b & 1)
    ans *= base;

/*关于 b & 1：
“&”美名曰“按位与”。
x & y 是二进制 x 和 y 的每一位分别进行“与运算”的结果。
与运算，即两者都为 1 时才会返回 1，否则返回 0。
那么 b & 1

          二进制
b     =    1011
1     =    0001
b&1   =    0001

因为 1（二进制）的前面几位全部都是 0，
所以只有 b 二进制最后一位是 1 时，b & 1 才会返回 1。
挺巧妙的，并且很快。)*/

·然后 base 努力上升，他通过自乘一次，使自己变成 a^2。

base *= base;

同时

b >>= 1;

它把（二进制的）自己每一位都往右移动了。原来的最后第二位，变成了最后第一位！b = (101)2​。

}

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·循环二，再看看 b，最后一位还是 1。这说明有“ × a^2 ”，ans∗=base。

·base 继续努力，通过 base *= base让自己变成了 a^4。然后 b 也右移 一位。b=10。

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·循环三，可是 b 的最后一位不再是 1 了，说明不存在“ × a^4 ”。base 自我升华，达到了 a^8。且 b >>= 1。这一步中，答案没有增加，可是毕竟 b > 0，还有希望。

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·循环四，b 的最后一位是 1，这说明“ ×a^8 ”的存在。ans *= base。由于 b 再右移一位就是 0 了，循环结束。

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总的来说，如果 b 在二进制上的某一位是 1，我们就把答案乘上对应的 a^{2^{n}}。不懂的话，请结合代码理解~

实现

int quickPower(int a, int b)//是求a的b次方
{
    int ans = 1, base = a;//ans为答案，base为a^(2^n)
    while(b > 0)//b是一个变化的二进制数，如果还没有用完
    {
        if(b & 1)//&是位运算，b&1表示b在二进制下最后一位是不是1，如果是：
            ans *= base;//把ans乘上对应的a^(2^n)

        base *= base;//base自乘，由a^(2^n)变成a^(2^(n+1))
        b >>= 1;//位运算，b右移一位，如101变成10（把最右边的1移掉了），10010变成1001。现在b在二进制下最后一位是刚刚的倒数第二位。结合上面b & 1食用更佳
    }
    return ans;
}

 

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有很多时候我们使用快速幂是为了进行取模运算：

int quickPower(int a,int b,int m)
{
	int ans=1,base=a;
	while(b>0)
	{
		if(b & 1)//与 b mod 2 == 1等效,也就是奇数
		{
			ans *= base;
			ans %= m;	
		}
		base *= base;
		base %= m;
		b >>= 1;	//与 b/=2 等效 
	}	
	return ans;
} 

这样就保证了每次都是先乘再取模