1.数字三角形及动态规划

问题描述

　　（图３.１－１）示出了一个数字三角形。 请编一个程序计算从顶至底的某处的一条路
　　径，使该路径所经过的数字的总和最大。
　　●每一步可沿左斜线向下或右斜线向下走；
　　●1＜三角形行数≤100；
　　●三角形中的数字为整数0，1，…99；


　　.
　　（图３.１－１）

输入格式

　　文件中首先读到的是三角形的行数。

　　接下来描述整个三角形

输出格式

　　最大总和（整数）

样例输入

5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

样例输出

30

分析：

我的第一反应是利用深度优先遍历穷举出所有路径的值并进行比较

开始确实行之有效，但是随着行数的增加，不可避免地运行超时了

试着化简，还是无效。

后来查找答案，才知道还有一种叫做动态规划的方法，

即把问题拆成许多步，求出每一步的最优解，直到求该问题的最优解

每个步的最优解是从它前面步骤最优解里面选出的

比如这个问题，求第1层到第n层的数字总和最大

我们可以拆成如下若干问题：

1、第n层到第n-1层最大值；

2、在1的基础上，第n-1层到第n-2层最大值；

3、在2的基础上，第n-2层到第n-3层最大值

...

n、在前面问题的基础上，求第2层到第一层的最大值

由于题目对三角形路径有限定

即第n层的第i号只能走到第n+1层的第i，i+1号上（i+1<n+1）

所以每一步若干个最优解，进行下一步时，从这些最优解里面选出，求得下一步若干个最优解

说了这么多，以题目例子来试一试：

三角形：                    

第1层             7
第2层           3 8
第3层          8 1 0
第4层        2 7 4 4

第5层       4 5 2 6 5

我们可以分成4步

（1）第5层返回第4层：怎么样相加才能最大呢？

当然是i与他左右孩子里面最大的一个相加啊！

比如第4层的2，左孩子为第5层的4，右孩子为第5层的5，肯定与有孩子相加啊

结果为2+5=7；

同理，7与右孩子（5）相加=12，4与右孩子（6）相加=10,4与左孩子（6）相加=10

加完一遍后，第4层从2 7 4 4 变成了 7 12 10 10

本步骤的最优解即7 12 10 10

（2）第4层返回第3层：因为（1）,得：

第3层：   8   1   0

第4层：7   12   10  10   

同理（1），第二层的最优解为：20 13  10

（3）第3层返回第2层

第2层    3   8

第3层  20 13 10

最优解：23  21

（4）第2层返回第1层（最终问题）

第1层    7

第2层 23  21

最优解（最终答案）：30

经过这么一分析，我也得到了动态转移方程：

a[i-1][j] = a[i][j] + max（ a[i][j] , a[i][j+1] ）；（j+1<i）

#include <stdio.h>

int a[105][105];
int num;

void dp(int n){
	for(int i=n-1;i>0;--i){
		for(int j=0;j<n-1;++j){
			if(a[i][j]>a[i][j+1]){
				a[i-1][j]=a[i][j]+a[i-1][j];
			}else{
				a[i-1][j]=a[i][j+1]+a[i-1][j];
			}
		}
	}
}//动态规划 

int main(){
	int k;
	scanf("%d",&num);
	int i,j;
	for(i=0;i<num;++i){
		for(j=0;j<i+1;++j){
			scanf("%d",&a[i][j]);
		}
	}
	dp(num);
	printf("%d",a[0][0]);
	return 0;
}