【题解】SDOI-2014重建

生成树概率计算

最新推荐文章于 2021-04-15 21:46:23 发布

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本文介绍了一种使用 MatrixTree 定理解决生成树概率问题的方法。通过巧妙地将问题转化为矩阵运算，有效地解决了给定图中生成树的概率计算问题。

Problem

bzoj & luogu

题意：给定图 $G$ 与每条边 $e_i$ 的存在概率 $p_i$ ，求图是一棵生成树 $T$ 的概率 $P$

Solution

看到这道题首先想到了 $O(n^22^n\log n)$ 的Map+Dp

接着想到了 $MatrixTree$ 定理可以套用在这个上面，试了几次后就不会了……

考虑

a n s = \sum T \prod (i, j) \in E d g e p (i, j) \prod (i, j) \notin E d g e 1 - p (i, j) = \prod 1 - p (i, j) \sum T \sum (i, j) \in E d g e p ( i , j ) 1 - p ( i , j )

$ans=\sum_{T} \prod_{(i,j)\in Edge}p_{(i,j)}\prod_{(i,j)\notin Edge}1-p_{(i,j)}\\=\prod 1-p_{(i,j)}\sum_T\sum_{(i,j)\in Edge}\frac{p_{(i,j)}}{1-p_{(i,j)}}$

前面的可以 $O(stdin)$ 算，后面的用 $MatrixTree$ 算即可

题目难度主要在于提出公因式，可能自己对矩形树的应用还不是很熟练，所以没法第一眼看出

注意当边概率为1或0时要加减eps，否则会nan

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rg register

const double eps=1e-8;
const int N=55;
double a[N][N],ans=1.0;
int n;

void gauss(){
    double tmp=1.0;
    for(rg int i=1;i<=n;++i){
        int p=i;
        for(rg int j=i+1;j<=n;++j)if(a[j][i]-a[p][i]>eps)p=j;
        if(p!=i)for(rg int j=i;j<=n;++j)swap(a[i][j],a[p][j]);
        if(a[i][i]<eps){a[i][i]=0;return ;}
        for(rg int j=i+1;j<=n;++j)a[i][j]/=a[i][i];
        tmp*=a[i][i];a[i][i]=1.0;
        for(rg int j=i+1;j<=n;++j){
            for(rg int k=i+1;k<=n;++k)
                a[j][k]-=a[i][k]*a[j][i];
            a[j][i]=0;
        }
    }a[1][1]*=tmp;
    return ;
}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(rg int i=1;i<=n;++i)
    for(rg int j=1;j<=n;++j){
        scanf("%lf",&a[i][j]);
        if(a[i][j]==1)a[i][j]-=eps+eps;
        if(a[i][j]==0)a[i][j]+=eps+eps;
    }
    for(rg int i=1;i<=n;++i){
        a[i][i]=0;
        for(rg int j=1;j<=n;++j){
            if(i<j)ans*=1.0-a[i][j];
            if(i!=j)a[i][j]=a[i][j]/(a[i][j]-1.0);
        }
    }
    for(rg int i=1;i<=n;++i)
    for(rg int j=1;j<=n;++j)
        if(i!=j)a[i][i]-=a[i][j];
    --n;gauss();
    for(rg int i=1;i<=n;++i)ans*=a[i][i];
    printf("%.10lf\n",ans);
    return 0;
}