算法导论 练习12.2

12.2-1 假设一棵二叉搜索树中的结点在1到1000之间，现在想要查找值为363得到结点，下面序列那个不是查找过的序列。

a. $2,252,401,398,330,344,397,363$。
b. $924,220,911,244,898,258,362,363$。
c. $925,202,911,240,912,245,363$。
d. $2,399,387,219,266,382,381,278,363$。
e. $935,278,347,621,299,392,358,363$。

因为这是查找BST过程中的一个序列，因此根据该序列构造BST，如果满足BST的性质，那么就是查找的序列，否则不是。其中c和e不满足。

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12.2-2 写出TREE-MINIMUM和TREE-MAXIMUM的递归版本。

//根据书上的版本写的，书中没有判断x是否为空的情况
TREE-MINIMUM(x)
 if x.left == NIL
    return x
 return TREE-MINIMUM(x.left);

TREE-MAXIMUM(x)
 if x.right == NIL
    return x
 return TREE-MAXIMUM(x.right)

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12.2-3 写出过程TREE-PREDECESSOR的伪代码

与书上的TREE-SUCCESSOR想对称

TREE-PREDECESSOR
 if x.left != NIL
    return TREE-MAXIMUM(x.left)
 y = x.p
 while y != NIL and y.left == x
    x = y
    y = y.p
return y

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12.2-4 Bunyan教授认为他发现了一个二叉搜索树的重要性质。假设在一棵二叉搜索树中查找一个关键字$k$，查找结束于一个树叶。考虑三个集合：$A$为查找路径左边的关键字集合；$B$为u查找路径上的关键字集合；$C$为查找路径右边的关键字集合。Bunyan教授声称：$\forall a\in A,b\in B,c\in C$，一定满足$a\le b\le c$。请给出该教授这个论断的一个最小可能的反例。

查找5，那么B={1,4,5},A={2},C={}B=\{1,4,5\},A=\{2\},C=\{\}B={1,4,5},A={2},C={}, 显然不成立。

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12.2-5 证明：如果一棵二叉搜索树中一个结点有两个孩子，那么它的后继没有左孩子，它的前驱没有右孩子。

证明：反证法，设结点为$x$，它的前驱为$pre$，那么对于BST的中序遍历序列为 $<\dots -pre-x-\dots >$ ，假如$pre$存在右孩子$ppret$，那么在中序遍历时，遍历完成$pre$后接着遍历$ppre$，这与之前中序遍历的序列相矛盾。即$x$的前驱$pre$不存在右孩子。同理$x$的后继结点不存在左孩子。

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12.2-6 考虑一棵二叉搜索树$T$，其关键字互不相同。证明：如果$T$中一个结点$x$的右子树为空，且$x$有一个后继$y$，那么$y$一定是$x$的最底层的祖先，并且左孩子也是$x$的祖先。（注意到，每个结点都是它自己的祖先。）

证明：
 首先确定$y$是$x$的祖先，如果$y$不是$x$的祖先，设$x,y$的第一个共同祖先为$z$，那么根据BST的性质有，$x<z<y$（因为x没有右子树，那么y只能存在于z的右子树，而x存在于z的左子树，否则就无法满足y为x后继即 x<y的关系），那么$x$的后继不再是$y$，因此假设不成立。$y$为$x$的祖先得证。
 接下来证明$y.left$是$x$的祖先。假设$y.left$不是$x$的祖先，那么$y.right$将是$x$的祖先，意味着$x>y$，矛盾。因此$y.left$是$x$的祖先。
 最后证明$y$是$x$的最底层祖先，同时$y.left$也是$x$的祖先。假设$y$不是$x$的最底层祖先但是$y.left$是$x$的祖先，令$z$表示最底层祖先，$z$一定是$y$的左子树，因此有$z<y$，意味着$z$是$x$的后继，矛盾，假设不成立。

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12.2-7 对于一棵有$n$个结点的二叉搜索树，有另一个方法实现中序遍历，先调用TREE-MINUMUM找到这棵树中的最小元素，然后再调用n-1次的TREE-SUCCESSOR。证明：该算法的时间复杂度为$\Theta (n)$。

证明：我们要想证明这个边界，其实不难实现，可以通过再TREE-MINIMUM和TREE-SUCCESSOR中统计访问边的次数，对于BST是树，因此满足边的次数=顶点数-1。不难发现每条边访问次数不超过两次，同时每个顶点需要访问依次，因此时间复杂度为$\Theta (n)$

下面证明对于每一条边最多访问两次：一次从下降（从高到低），一次上升（从低到高）

考虑在树中的一个点$u$,还有它的孩子$v$。我们需要先访问从$(u,v)$，才能访问$(v,u)$。对于下降，只有出现在TREE-MINIMUM，对于上升，只有出现在TREE-SUCCRSSOR并且该结点没有右孩子。

假设$v$是$u$的左孩子

在打印$u$之前，我们需要打印$u$的左子树，保证下降的遍历边$(u,v)$
$v$为根的左子树遍历完成后，打印$u$。从$v$为根的左子树的最大结点,调用TREE-SUCCESSOR中，上升遍历边(u,v)。当$u$的左子树遍历完成后，边$(u,v)$不再访问。

假设$v$是$u$的右孩子

当$u$打印后，TREE-SUCCESSOR(u)被调用，为了访问$v$为根的右子树的最小元素，需要下降的遍历边$(u,v)$。

当$u$的右子树遍历完成后，$v$为根的右子树的最大结点，调用的TREE-SUCCRSSOR，上升遍历边$(u,v)$。当$u$的右子树遍历完成后，边$(u,v)$不再访问。

因此，每条边访问次数不会超过2次。时间复杂度为$\Theta (n)$

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12.2-8 证明：在一棵高度为$h$的二叉搜索树中，不论从哪个结点开始，$k$次连续的TREE-SUCCESSOR调用所需时间为$\Theta (k+h)$。

我们记调用TREE-SUCCESSOR的结点为$x$，令$y$为$x$的第$k$个后继结点,$z$为$x,y$的最底层公共祖先。连续调用TREE-SUCCESSOR类似树的遍历，每条边的遍历次数不超过2次，所以我们不会检查一个结点超过3次。另外，任何结点关键字不是在$x,y$之间最多检查一次，发生在一条从$<x-\dots -\dots z>$或$<y-\dots -\dots -z>$ (路径)。这些路径的长度由$y$限制,因此最坏情况时间复杂度为$3k+2h=O(k+h)$。

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12.2-9 设$T$是一颗二叉搜索树，其关键字互不相同；设$x$是一个叶结点，$y$为其父结点。证明：$y.key$或者$T$树中大于$x.key$的最小关键字，或者是$T$树中小于$x.key$的最大关键字。

证明：假设$x$是$y$的左孩子，那么$x$的后继是$y$，即$y.key$是$T$树种大于$x.key$的最小关键字，若$x$是$y$的右孩子，那么$y$的前驱是$x$，即$y.key$是$T$树小于$x.key$的最大关键字。