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最新推荐文章于 2019-07-24 09:59:00 发布

luoyuef

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分类专栏： FFT

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本文介绍一种高效算法，通过枚举最长边并利用卷积计算其他两条边的组合，来找出所有可能组成三角形的线段组合，并计算其概率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

给定n条线段，随机选3条，输出三条线段能组成三角形的概率。

考虑暴力。枚举两条线段，第三条前缀和查询。 $O(n^2)$

在 $O(nlogn)$ 时间内枚举两条线段不太好办。换种思路考虑。如果我们枚举最长边，去找2个短边之和＞最长边的数量。

设 $f(x)$ 为长度为x的线段数量。
求 $f(x)$ 的卷积 $g(x)$ 。即为两条线段凑到一起长度为x的组合的数量。
$g(x)=\sum f(x-i)f(i)$

这样会算重复线段本身还有每两个不相同的线段多算2遍，减完除一下就好。
这样我们可以得到两条不相同的线段加起来值为k的方案数。

枚举最长边。考虑如何计算合法答案。
一个三角形我们枚举了一条边e，要求有2个不相同的边相加长度＞e。
有三种情况不合法：
1.两条比他长的边组成的方案。
2.一条比他长一条比他短的边组成的方案。
3.他加上某条线段组成的方案。

减去即可计算出合法的方案数ans。
总方案数 $C(n,3)$
最终概率为 $ans/C(n,3)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const double Pi=acos(-1);
const int MAXN=4e5+5;

struct cp{
    double x,y;
    cp(double xx=0,double yy=0){x=xx,y=yy;}
}a[MAXN],b[MAXN];

cp operator + (cp a,cp b){
    return cp(a.x+b.x,a.y+b.y);
}

cp operator - (cp a,cp b){
    return cp(a.x-b.x,a.y-b.y);
}

cp operator * (cp a,cp b){
    return cp(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+b.x*a.y);
}

int l,r[MAXN],limit=1,n,h[MAXN],maxn=0;
ll g[MAXN];

void FFT(cp*A,int ty){
    for(int i=0;i<limit;i++){
        if(i<r[i])swap(A[i],A[r[i]]);
    }
    for(int mid=1;mid<limit;mid<<=1){
        int R=mid<<1;
        cp Wn(cos(Pi/mid),ty*sin(Pi/mid));
        for(int j=0;j<limit;j+=R){
            cp W(1,0);
            for(int k=0;k<mid;k++){
                cp x=A[j+k],y=W*A[j+k+mid];
                A[j+k]=x+y;
                A[j+k+mid]=x-y;
                W=W*Wn;
            }
        }
    }
}

void rework(){
    l=0;limit=1;maxn=0;
    memset(a,0,sizeof(a));
    memset(b,0,sizeof(b));
    memset(r,0,sizeof(r));
    memset(g,0,sizeof(g));
    memset(h,0,sizeof(h));
}

void work(){
    scanf("%d",&n); 
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&h[i]);
        maxn=max(maxn,h[i]);
        a[h[i]]=a[h[i]]+1;b[h[i]]=b[h[i]]+1;
    }
    maxn*=2;
    while(limit<=maxn+2)l++,limit<<=1;
    for(int i=0;i<limit;i++){
        r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
    }
    FFT(a,1);FFT(b,1);
    for(int i=0;i<=limit;i++)a[i]=a[i]*b[i];
    FFT(a,-1);
    for(int i=0;i<=limit;i++)g[i]=ll(a[i].x/limit+0.5);
    for(int i=1;i<=n;i++)g[h[i]<<1]--;
    for(int i=0;i<=limit;i++)g[i]>>=1;
    for(int i=1;i<=limit;i++)g[i]+=g[i-1];
    sort(h+1,h+1+n);
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
    //  cout<<g[i]<<":"<<i<<endl;
        ans+=g[limit]-g[h[i]];
        ans-=1ll*(n-i)*(n-i-1)/2;//两边都>组成的g 
        ans-=1ll*(n-i)*(i-1);//一边大于一边小＜组成的g 
        ans-=n-1;//他自己组成的g 
    }
    //printf("%lld\n",ans);
    printf("%.7lf\n",1.0*ans/((1ll*n*(n-1)*(n-2))/6));
}

int main(){
//  freopen("1.in","r",stdin);
//  freopen("1.out","w",stdout);
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        rework();
        work(); 
    }
    return 0;
}