概率算法笔记

绪论

1. 引言

1
当一个算法面临某种选择事，有时随机选择比耗时做最优选择更好，尤其是当最优选择时间大于随机选择的平均时间。概率算法只能是期望的时间更有效，但有可能遭受到最坏的可能性。

2
2.1 平均时间：确定算法中，输入一定等概率出现的输入实例的执行平均时间
2.2 期望时间：概率算法中，反复解同一个输入实例所花的平均执行时间
平均的期望时间：所有输入实例上平均的期望执行时间
最坏的期望时间：最坏的输入实例上的期望执行时间

3 特点
不可再现性
分析困难

2. 概率算法的分类

1 基本特征
随机决策：同一实例上执行时间和结果都可能不同

2 分类
Numerical、Monte Carlo、Las Vegas、Sherwood
2.1 数字算法：例如求一个系统中队列的平均长度，概率算法求得答案是近似的，算法执行时间越长精度越高
2.2 MC算法：问题只有一个正确的解，无近似解，例如判定问题（只能有正确或者错误）
特点：总能给出一个答案，确未必正确，正确的概率和执行时间成正比
2.3 LV算法：算法绝不返回错误的答案，但有时返回不了答案，成功的概率和执行时间成正比
2.4 Sherwood算法：总能给出正确答案，当某些确定算法解决一个特殊问题平均时间比最坏时间快得多时，我们可以用sherwood算法来减少，甚至是消除好的和坏的实例之间的差别

数值概率算法

1. $\pi$值计算：面积法

Darts(n):
	k = 0
	for i in (0, n):
		x = uniform(0,1)
		y = uniform(0,1) #这里若改成y=x，则算法估算的结果应该是圆内切正方形的边长
		if x^2 +y^2 < 1:
			k++
	return 4k/n

2. 数字积分：仍然是面积法
   Monte Carlo积分（非Monte Carlo算法）
   计算定积分的值:
   2.1 概率算法1
   相当于面积法

HitorMiss(f, n)
	k = 0
	for i in (0, n):
		x = uniform(0,1)
		y = uniform(0,1) 
		if y < f(x):
			k++
	return k/n

2.2 概率算法2
在积分区间内均匀产生点，求点上函数值得算数平均值，再乘以区间宽度

Crude(f,a,b,n):
	s = 0
	for i in (0, n):
		x = uniform(a, b)
		s += f(x)
	return s*(b-a)/n

给定n下，Crude算法的方差不会大于HitorMIss，但可能需要计算f(x)，耗时更多
2.3 确定的算法
梯形算法：将区间分为n-1个子区间，每个区间长度为d

Trapezoid(f,n,a,b):
	s = 0
	d = (b - a) / (n -1)
	for i in (1, n):
		s+=[f(a+i*d)+f(a+i*d+d)]*d/2
	return s

梯形算法的精度在相同迭代次数下较高，但是有如下缺点
a）有时求不出解

b）多重积分极速增加算法复杂度，但是概率算法对维度不敏感

3. 概率计数
   例1：25个人生日存在相同的概率
   从n个对象中选择两两不同的k个有$\frac{n!}{(n-k)!}$种
   从n个对象中选择k个可重复的有$n^k$种
   因此不同的概率为$\frac{n!}{(n-k)!n^k}$
   近似地有，$\frac{n!}{(n-k)!n^k}=e^{-k^2/2n}$

例2：求集合X的势
X势具有n个元素的集合，又放回地随机均匀独立地从X中选取元素，k是第一次重复之前选出的元素数目，则当n足够大时，k的期望值趋近于$\sqrt{n\pi /2}$

例3：多重集合中不同对象数目的估计
N是磁带上总词数，n是其中不同词的数目。
方法一：排序
方法二：散列表
方法三：将N个单词随机散列到m长度的位串上，$m=5+lgM$

pi(x, y):
	return x中出现的首位y的位置
WordCount():
	y[1...m+1] = 0
	for word in sentence:
		y[pi(h(word), 1)] = 1
	return pi(y,0)

后续一系列证明，证明计数结果的上界约为$2^k$，下界约为$2^{k-2}$，约等于$2^k/1.5$
原证明过程大致为举例m=4时，若返回值为4时（前3位均为1，第四位出现0）的概率为35.6%，因此概率不大…
因此这是一个特殊情况的概率举例，的确若存在16个不同的单词，所有单词的最高位均没有填到第四位的概率为$(15/16{)}^{1}6$。
若我们扩大m的值，返回值为5，则上界为32，因为所有单词均没有填到第五位的概率为$(31/32{)}^{3}2)$，应该更小。
那么对于下界，则对于4个单词，至少有一个填到第三位（001）的概率为$1-(7/8{)}^4=41.4$，因此概率足够…

略感觉这里对于概率的要求有些随性，不很严谨。

Sherwood算法

算法的根本目的在于平滑不同输入实例的执行时间
A：确定性算法，可能会存在一个数据执行时间远大于平均时间
B：概率算法，$t_B(x)\approx {\bar{t}}_A(n)+s(n)$，$s(n)$是为了均匀性付出的成本
虽然B执行时间也可能存在大于B算法平均值的情况，但是这不再与实例有关。因此，不再有最坏情况的实例，但有最坏的执行时间。

我理解此类算法的根本意义在于通过随机变换输入实例，使得最坏实例都有可能变好，这样使得不存在某个实例一定不好。

1. 选择与排序
   1.1 在n个元素中选择第k个最小元素的算法，有两种方法…（均为确定性算法此处略过）
   确定性算法的时间依赖于元素之间的相对顺序
   1.2 概率算法：随机选择T中的元素作为划分元
   注意：

算法的某次执行有可能达到$O(n^2)$，但可能性和实例无关。（注意理解这句话，若不是概率算法，那么实例对应的执行时间是固定的，若添加了概率，则对应之前最坏情况的实例可能执行时间不再是最坏的情况，但所有实例都有可能选到最坏情况的执行时间）

将选择和排序的确定算法修改为Sherwood算法很简单，但若其他复杂算法可能会很难修改，此外，只有当算法平均时间较优，最坏性较差，才有修改的价值

2. 处理步骤
   ①预处理：将被解的实例变换到一个随机实例
   $f:X\to Y$是问题函数
   $X_n$是大小为n的实例
   $A_n$是大小为n的集合，并可以有效均匀随机抽样
   随机预处理过程：
   $u:X\times A\to X$，X可随机抽样变换为另一个实例，存在且只存在一个
   $v:A\times Y\to Y$，y的解可变换为原实例y的解
   且u和v在最坏情况下仍能够有效计算
   ②用确定算法解此随机实例，得到一个解
   ③后处理：将此解变换为对原实例的解。

RH(x):
	n = size(X)
	r = uniform(An)
	y = u(x, r)
	s = f(y)
	return v(r, s)

例1 选择和排序：将输入实例打乱（相当于洗牌）
例2 离散对数计算
定义$a=g^x\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$，记$x={\log }_{g,p}a$
首先明确对于不同的x，a是一个周期循环的数，例如

因此我们计算x的值，只需要依次循环遍历即可。（需要注意可能存在无解的情况）

dlog(g,a,p):
	x = 0, y = 1
	do{
		x++
		y*=g
	}while(y % p != a and x != p)
	return x #当无解时返回p

那么这就有了问题：当输入a为11时，注定需要循环18次才能找到i的值。
因此我们可以通过随机预处理改变输入实例a的值，再通过后处理还原。
这里需要两条定理：
①${\log }_{g,p}(st\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)=({\log }_{g,p}s+{\log }_{g,p}t)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(p-1)$
②${\log }_{g,p}(g^r\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)=rfor0\le r\le p-2$
（注意上述两条定理不满足当r=p-1的情况）
这里就可以用一个随机的r将原本的输入实例a向右移动若干位，使得最坏实例下执行时间变短

dlogRH(g,a,p):
	r = uniform(0, p-2)
	b = ModularExponent(g,r,p)#也就是求g^r%p
	return (ModularLog(g,p,ab % p) - r) %(p-1)

这样一种随机预处理就提供了一种加密计算的方法，因为u的分布时独立于x的分布，除了泄露size带下外，没有任何其他信息的泄露

3. 搜索有序表
   3.1 有序表构成：通过两个数组来定义这个有序的静态链表
   
   3.2 搜索方法
   折半查找：对于val说有序的表可用
   顺序查找：链式结构表，最坏时间为O(n)

Search(x,i):
	while x > val[i]:
		i = ptr[i]
	return i
A(x):
	return Search(x, head)

显然平均时间为$\frac{n+1}{2}$

对应的概率算法：

D(x):
	i = uniform(0, n)
	case:
		x == val[i]: return i
		x > val[i]: return Search(x, i)
		x < val[i]: return Search(x, head)

这里计算平均时间：i为随机初始位置，j为实际位置
i<j时，时间为$j-i$，
i>j时，时间为$j$，
平均时间为${\sum }_{i=0}^n({\sum }_{j=0}^{i-1}j+{\sum }_{j=i}^n(j-i))=\frac{n}{3}-\frac{1}{3n}$
可以见得概率算法的平均时间更少

我们寻求一个确定性算法，平均时间为$O(\sqrt{n})$
首先我们在n个数中选择前l个数，因为数组的随机性，我们相当于将有序空间分为l个区间，每个区间随机选择一个数，其中与x在同一区间的数为y。
若y<x，从y再寻找到x只需要不超过n/l时间
若y>x，则需要从前一个区间的随机数出发寻找x，平均距离为n/l
综上，平均的时间为$(\frac{n}{l}+l)/2$，显然当$l=\sqrt{n}$时，时间最少，为$\sqrt{n}$

B(x):
	i = head
	max = val[i]
	for j in (0, sqrt(n)):
		if max<y<=x:
			i = j
			max = val[j]
	return Search(x,i)	
	# 寻找的是比x小的最大值对应的下标

Las Vegas算法

1. 比较
   Sherwood一般平均性能较差，可以计算执行上界，一定能够找到解
   Las Vegas算法可以获得更有效率的算法，时间上界可能不存在，可能会冒着找不到解的风险，但同一实例同一算法有独立的集会求解

2. 算法表示 LV(x,y success)
   p(x)：成功率
   s(x)：算法成功时的期望时间
   e(x)：算法失败时的期望时间
   t(x)：算法找到一个正确解的期望时间
   有关系：t=p*s+(1-p)(e+t)，解得t=s+(1-p)e/p

3. Las Vegas方法求解n皇后

QueensLv(success):
	col, diag45, diag135 = {}
	k = 0 #从第k行开始
	repeat:
		nb = 0
		for j in range(8):
			if Not(j in col or j - (k + 1) in diag45 or j + (k + 1) in diag135):
				nb++
				if uniform(0,nb) == 0: #这种概率方法还较为巧妙，可以控制均匀概率
					i = j	
		if nb > 0:
			k++;
			try[k] = i
			col.append(i)
			diag45.append(i-k)
			diag45.append(i+k)
	until nb == 0 or k == 8 # 找不到合适的位置，或者try数组填满
	success = nb > 0

上面这种方法下，每次具有一定失败的概率，但即使是考虑失败的次数，经过多次实验结果，直到第一次成功搜索的平均结点数也大大优于回溯法。

问题：LV算法一旦失败就必须从头再来
因此我们可以先随机放置若干个皇后，然后再用回溯法放置后若干个结点，不再考虑前面随机放置的结点。

4. 模p平方根

定义：$x\equiv y^2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$，其中p是一个奇素数，$x\in [1,p-1]$
1）x为模p的二次剩余
2）若$y\in [1,p-1]$，则y为x模p的平方根

定理1：任何一个模p的二次剩余至少有两个不同的平方根
显然对于$(p-y{)}^2=p^2-2py+y^2=>(p-y{)}^2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p=y^2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$，且由于p是奇素数，$y\ne p-y$

定理2：任何一个模p的二次剩余至多有两个不同的平方根
由定理1知至少存在$a^2\equiv b^2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$，则有$a^2=pm+r,b^2=pn+r$，故$a^2-b^2\equiv 0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p,a^2-b^2=p(m-n)=(a+b)(a-b)$，其中$a-b<p$，则必有$a+b\equiv 0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$，又因为a和b之间差不超过p，且a、b本身不超过p，故只能有$a+b=p$，得到$a=p-b$。因此对于任意两个不同的平方根，均只有b和p-b两种不同的形式

定理3：1到p-1之间的整数恰有一半是模p的二次剩余
由定理1、2知道，对于任何一个模p的二次剩余都只有两个不同的平方根，因此对于[1,p-1]内的y对应的$y^2$有两两相同，又因为二次剩余的平方根最多只有两个，所以不可能有重复的两对$y^2$是相同的，故而正好有$(p-1)/2$个模p的二次剩余。

定理4：对于$\forall x\in [1,p-1]$，p是任一奇素数，则有$x^{(p-1)/2}\equiv \pm 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$，且x是模p的二次剩余当且仅当$x^{(p-1)/2}\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$
这里证明需要通过费马小定理：$p$为质数，$a$为任意自然数，都有$a^p\equiv a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$
费马小定理的证明可以通过数学归纳法，证明$(a+1{)}^p\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p=a$其中需要用到$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k}\right)$可以被p整除（因为p是素数）
在费马小定理的基础上，我们得到$a^{p-1}\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$，因此有$p|(a^{(p-1)/2}-1)\ast (a^{(p-1)/2}+1)$那么需要满足$p|(a^{(p-1)/2}-1)$或者$p|(a^{(p-1)/2}+1)$，进而得到$a^{(p-1)/2}\equiv \pm 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$
最后一个二次剩余不会证明。。。。。
因此想要判定x是否为模p的二次剩余，只需要计算$x^{(p-1)/2}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$是否为1即可（但是这里p需要是奇素数吧）

问题：已知p是奇素数，x是模p的二次剩余，如何计算x模p的平方根？
首先由前面定理可知，平方根有且仅有两个；
若p=4n+3，这时候很容易得到$x^{(p-1)/2}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p=1=>x^{(p+1)/2}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p=x$，显然可以得到x模p的平方根为$x^{(p+1)/4}$
但若p=4n+1时，没有有效的确定性算法，只能借助于Las Vegas算法

Las Vegas算法
这部分PPT介绍的不够清晰，主要是介绍顺序不太好吧。
首先我们明确要计算x模p的平方根，例如计算x=7,p=53时的平方根
因为由定理4我们知道$x^{(p-1)/2}\equiv +1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$
（以下的$\sqrt{x}$均为带模运算的平方根）
因此我们可以通过计算$(a+\sqrt{x}{)}^{(p-1)/2}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$和$(a-\sqrt{x}{)}^{(p-1)/2}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$的结果，这种情况下只能为±1。若我们能寻找到一对恰好为1和-1，则有
$(a+\sqrt{x}{)}^{(p-1)/2}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p=(c+d\sqrt{x})\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p=1$
$(a-\sqrt{x}{)}^{(p-1)/2}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p=(c-d\sqrt{x})\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p=-1$（这里ppt也没有说明证明原理，可能跟复数运算的性质有关）
我们将两个式子分别相加减，得到$d\sqrt{x}\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$，并且$c\equiv 0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$
因此，我们每次只需要计算$(a+\sqrt{x}{)}^{(p-1)/2}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p$，若c为0，d不为0，则最终必然是±1；若c不为0，d为0，则说明两个取模是同号。
之后我们将问题转换为求d的逆元。
求逆元需要用到拓展的欧几里得定理，也就是辗转相除法的逆过程
例如，求p=53时，41的逆元。
这里可以看作时求41和53的最大公因数，我们知道和质数的最大公因数一定是1，则有辗转相除法的过程：
$$53=41\ast 1+12$$
$$41=12\ast 3+5$$
$$12=5\ast 2+2$$
$$5=2\ast 2+1$$
$$2=2\ast 1+0$$
我们逆推这个公式有：
$$1=5-2\ast 2=5-(12-5\ast 2)\ast 2=5\ast 5-12\ast 2=(41-12\ast 3)\ast 5-12\ast 2=41\ast 5-12\ast 17=41\ast 5-(53-41\ast 1)\ast 17=-53\ast 17+22\ast 41$$
因此我们可以得到22为41模53的逆元，则另一个逆元为53-22=31

rootLV(x,p,y,success):
	a = uniform(1,p-1)
	if a^2%p ==  x:
		success = true
		y = a
	else:
		计算c，d
		if d == 0:
			success = false
		else # 当d不为0时，c == 0
			计算y为d的逆元
			success = true

5. 整数的因数分解

n是一个合数，寻找非平凡解有两个过程：
prime(n)：判断n是否为素数（Monte Carlo）
split(n)：知道n的一个非平凡因数

1. 朴素的split算法

split(n):
	for i in (2,sqrt(n)):
		if n % i == 0:
			return i
	return 1

2. 合数的二次剩余
   定义：若x和n互质，且存在$y\in [1,n-1]$，使得$x\equiv y^2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$，则x为模n的二次剩余
   对于素数p，模p的二次剩余一定有两个不同平方根，但是对于合数n则未必，例如$8^2\equiv 13^2\equiv 22^2\equiv 27^2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}35$，且我们发现两两相加为n
   定理：若n=qp，qp是互不相同的素数，则模n的二次剩余恰有4个平方根

Dixon因数分解算法
基本思想，找两个与n互素的整数a和b，使得$a^2\equiv b^2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$，因为有$a^2-b^2\equiv (a+b)(a-b)\equiv 0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$，若n既不能整除a+b，也不能整除a-b，则可以有n的一个平凡因子满足$x|(a+b),\frac{n}{x}|(a-b)$，故n和a+b的最大公因子是n的一个非平凡解

Dixon(n,x,success):
	if n % 2 == 0:
		success = true
		x = 2
	else:
		for i in range(2,log3n): #log3暂时不知是为啥
			if n^(1/i) 是整数:
				x = n^(1/i)
				success = true
		寻找a，b使得a^2 % n = b^2 % n
		if a=±b (mod n):
			success = false
		else:
			x = gcd(a+b, n)
			success = true

接下来就是如何找到a和b的问题
首先定义k平滑：若一个整数x的所有素因子均在前k个素数中，则称x是k平滑的
例如35=5*7，则35不是1，2，3平滑的，但是4，5，6…平滑的
（目的：k平滑的因子可以通过split算法找到）

Step1：
重复下面两个步骤：
1）随机在1-n-1中找到一个数，若正好是因子，直接结束
2）否则设$y=x^2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$，若y是k平滑，则将x和y的因数分解保存在表里
直到表里填够k+1行数据
（为什么要k+1行？确保一个k+1行中有几行的因数分解相乘后指数均为偶数）
（为什么需要偶数？因为要确保相乘后的值可以开根号？）
（为什么需要开根号？因为这样就可以得到不同的a和b确有相同的模剩余）

Step2：
在k+1个等式中寻找若干个等式使得相应的因数分解的积中前k个素数的指数均为偶数
证明：对于k+1×k的矩阵，必有线性相关的行，则我们将指数为偶数记1，奇数记0，很容易得到这样一个线性相关的矩阵，我们只需要找到这些行对应的等式即可

Step3：
令a为找到的若干个等式x的乘积
令b为找到的若干个等式y的乘积（指数均为偶数）开平方
若$a\equiv b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$则失败，否则找到

如何选择k的值：
设$L=e^{\sqrt{lnnlnlnn}}$，通常$k=\sqrt{L}$，期望时间$O(L^2)$

Monte Carlo算法

该算法对任和实例均能以高概率找到正确解，但算法出错时，没有警告信息

1. 基本概念
   Def1：MC算法以不小于p的概率反会正确的解，则成为p-正确，算法优势是p-1/2
   Def2：MC可以对同一实例决不给出两个不同的正确解，则称该算法是相容的/一致的

2. 基本思想
   为了增加一个一致的、p-正确算法成功的概率，只需多次调用同一算法，然后选择出现次数最多的解
   例如：MC(x)是一个一致、75%-correct的MC算法，考虑

MC3(x):
	t = MC(x)
	u = MC(x)
	v = MC(x)
	if t == u or t == v:
		return t
	return v

证明：
1）若t，u，v均正确，一定正确，概率为$(3/4{)}^3$
2）若t，u或者t，v或者u，v正确，最终也正确，概率为$3\ast (3/4{)}^2\ast (1/4)$
3）若只有一个正确，则只有v正确，才会返回正确答案，概率为$(3/4)\ast (1/4{)}^2$
总概率约为85%

3. 定理：MC是一个一致的、$(0.5+\sigma )$-correct的MC算法，x是一个被解实例，若调用MC(x)至少$-\frac{2}{\lg 1-4\ast {\sigma }^2}lg(1/ϵ)$，并返回出现频数最高的解，则可以得到一个解同样实例的一致的$(1-ϵ)$-correct的MC算法（其中$\sigma +ϵ<0.5$）

证明：设$n\ge -\frac{2}{\lg 1-4{\sigma }^2}\lg (1/ϵ)$为调用次数，$m=\lfloor n/2\rfloor +1$，显然当正确解数量大于等于m时，能够返回正确值；反之，则会返回错误解。因此出错概率为${\sum }_{i=0}^{m-1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)(\sigma +0.5{)}^i(0.5-\sigma {)}^{n-i}={\sum }_{i=0}^{m-1}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)(\sigma +0.5{)}^{n/2}(0.5-\sigma {)}^{n/2}(\sigma +0.5{)}^{i-n/2}(0.5-\sigma {)}^{n/2-i}\le {\sum }_{i=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}\right)(0.25-{\sigma }^2{)}^{n/2}=2^n(0.25-{\sigma }^2{)}^{n/2}=(1-4{\sigma }^2{)}^{n/2}\le (1-4{\sigma }^2{)}^{\frac{lgϵ}{lg1-4{\sigma }^2}}=(1-4{\sigma }^2{)}^{lo{g}_{1-4{\sigma }^2}^{ϵ}}=ϵ$。

4. 有偏算法

Def：
偏真算法：MC(x)是解某个判定问题，返回true时总是正确的，返回false才有可能产生错误的解，则称此算法是偏真的。
偏$y_0$算法：当$y_0$是某个特定解，若存在问题实例的子集X使得
1）若被解实例$x\notin X$，则算法MC(x)返回的解总是正确的（无论是$y_0$还是非$y_0$）
2）若$\forall x\in X$，MC并非对所有实例都返回正确解，正确解就是$y_0$
显然在这种情况下，返回$y_0$总是正确的，返回非$y_0$以p概率正确

我们重复调用k次MC(x)，得到结果$y_1,y_2,y_3......y_k$，则
若存在某个解$y_i=y_0$，则是一个正确解
若均不等于$y_0$，则y_0仍有可能是正确解（当$x\in X$），这种情况的错误概率为$(1-p{)}^k$

得到结论，重复调用一个一致的，p-正确的，偏$y_0$的MC算法k次，可以得到一个$(1-(1-p{)}^k)$正确的算法

5. 主元素问题
   Def：数组T中存在一个元素x个数大于n/2，n为数组大小时，则x为数组T的主元素

maj(T):
	i = uniform(0,n)
	x = T[i]
	k = 0
	for j in range(0,n):
		if T[j] == x:
			k++
	return k > n/2

显然该算法是一个偏真的1/2正确的算法
若返回true，则一定存在主元素，且选中主元素的概率大于1/2
若返回false，则可能没有主元素

若我们重复调用该算法，可以降低错误概率
设重复次数为k，显然错误概率降低为$(1-p{)}^k$
则我们想要错误率小于$ϵ$时，可以得到$k=lo{g}_{1-p}^{ϵ}$

majMC(T,e):
	k = log(1-p,e)
	for i in (1,k):
		if maj(T):
			return true
	return false

6. 素数测定
   6.1 简单的概率算法

prime(n):
	d = uniform(2,sqrt(n))
	return (n mod d)!=0

显然是个偏假的算法，并且效果很差

6.2 Femat小定理
若n是素数，则$\forall a\in [1,n-1]$，有$a^{n-1}modn=1$
逆否命题则为若$a^{n-1}modn!=1$，则n不是素数

Fermat(n){
	a = uniform(1...n)
	return a^(n-1) mod n == 1
}

仍然是一个偏假的算法

6.3 伪素数
定义：满足$a^{n-1}modn=1$的合数n被称为以a为底的伪素数，a称为n的伪证据
其中伪素数+素数称为拟素数，也就是符合费马小定理的数
但是因为对于不同的合数，他们的伪证据数量不一定，有的甚至可以找到99%比自己小的数都是伪证据。因此对于Fermat算法我们不能确定它是p-正确的。

6.4 强伪素数
对于n-1分解为$2^s\ast t$，其中t为奇数。对于$1<a<n-1$，B(n)满足下面两个条件之一：
①$a^t\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n=1$
②存在$i\in [0,s]$使得$a^{2^{i}t}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n=-1$
则n为素数时，一定满足$\forall a\in [2,n-2]$，均有$a\in B(n)$
当n为合数时，若存在$a\in B(n)$，则n被称为以a为底的强伪素数
n为素数，则n对所有底均为强伪素数

一般来说，强伪证据比较少，可以确定，当n是任一大于4的奇素数时，强伪证据不超过1/4。故用强伪证据判断，正确概率可以达到3/4

综上，该算法是一个3/4正确、偏假的算法。若重复调用k次后返回true，则出错的概率为$(1/4{)}^k$。
故RepeatMillRob(k)是$1-(1/4{)}^k$-正确的MC算法

时间复杂度为$O(l{g}^{3}nlg1/ϵ)$

7. 矩阵乘法验证
   1）问题描述：判定AB=C，ABC都是方阵
   2）MC算法：改为判断XAB=XC，其中X为1*n
   3）算法分析：显然是一个偏假的算法，1/2-correct
   4）依然是重复多次可以降低出错概率