考研数学基础 第3讲 函数极限和连续性

最新推荐文章于 2024-03-02 20:11:38 发布
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分类专栏： 考研数学
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总览：

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邻域的概念

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并不是一个确定的数，你只需要知道它并不大就可以了在这里插入图片描述

1.函数极限的定义

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1.1

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1.2

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注意：极限值与该点函数值无关，极限看的是过程，即使该点函数无定义，也有可能有极限

1.3 函数极限的性质

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极限的唯一性

左右极限都存在且相等才能说明极限存在
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取整函数

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例：1.3.1（极限唯一性）

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函数极限性质解析

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拉氏的作用

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有界区间上导函数有界，原函数在该区间上也有界

证明：
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1.4 运算规则（类数列极限运算）

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注意：前提是两函数极限存在

没有这个条件，加减运算时是不能拆开的

1.5 夹逼准则（哪里跑）

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1.6 洛必达法则

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1.5.3

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注意洛必达求导后极限不存在，洛必达失效，不能说明原函数极限也不存在。

1.7 泰勒公式（常见8个）

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注意奇偶性，奇函数泰勒展开不能有偶次方。
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1.7.1 狗-sin狗的应用

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无穷小的运算规则

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加减取低阶，乘法阶数累加，非0常数不影响阶数。

泰勒展开原则

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常用等价无穷小

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1.8 归结原则（海涅定理）

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1.找到两个不同极限的数列，反推出函数极限不存在
2.求数列极限时先求函数的极限，取x=1/n，可得f（1/n）极限也为A

例1.3.14 （海涅求数列极限）

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遇见形如lnu，u~1，求极限，lnu=ln（1+u-1）=u-1 ~0

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1.9 无穷小比阶

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注意：无穷是一个过程，不是某个点

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一般都是计算同阶无穷小。
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7中未定式的计算

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化简时分母分子设置要讲究
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小题目：利用ex-1 ~ x 提出不为0的因式

形如：
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例1.3.3 0比0型

例1.3.6

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1.3.7

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1.3.8

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1.3.9 （取整函数+夹逼准则）

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无穷-无穷型

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例1.3.10 通分法

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例1.3.11 没有分母就进行倒代换创造分母

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例 1.3.12

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例1.3.13 1无穷型未定式

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幂指数的处理步骤：
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（已知极限求另一极限） 1.3.15

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已知极限反求参数 1.3.16

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无穷小比阶

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连续与间断

连续点定义

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极限值等于函数值就是连续

分类

第一类间断点

1.可去间断点
前提：去心邻域有定义

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极限存在，但函数值不等，f（x0）甚至可以没有定义
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2.跳跃间断点

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第二类间断点（只研究两种）

1.无穷间断点

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2.振荡间断点

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2021.5.7 考研数学基础第三讲——函数极限与连续
call_me_DOUBLE_W的博客
05-07 255
刚开始的几部分内容总是比较多，我们分几部分介绍。 第一部分，函数极限。 首先我们看领域的概念。 一维情况，领域其实就是数轴上的一个长度范围。 二维情况，可以理解为一个圆。 函数极限的定义： 概念和数列极限相似，但函数极限需要注意x的趋近方向，左右分别趋近，这也就有了单侧极限的概念。而函数极限存在的充要条件就是左右极限均存在且相等。 函数极限的性质与运算，和数列极限可以类比学习： 夹逼准则： 这里需要注意一下，A可以是一个具体的数，也可以是无穷，但对于考研来讲，无穷是不存在的
高等数学 第一章 极限和连续函数
LKJLKJKL的博客
09-11 1335
例题：求函数 的表达式 并讨论函数的连续性。 分析解答：求表达式就是要求数列的极限。 （这是因为，自然数列在 时 和 函数 同时趋向 于无穷大，故函数和子列有同样的极限。即是所给极限是对应函数的子列。数列 是 对应函数 自变量 的一些离散点构成数列（子列）函数列是函数的子列。且函数列和函数有相同的极限。但可以推广，不仅限于自变量的离散点，而只要在数列的在n趋...
【考研数学】函数、极限、连续
weixin_45827703的博客
03-20 706
【考研数学】函数、极限、连续 （一）函数 定义域、邻域 认识基本函数：幂、指、对、三角、反三角 复合函数、显函数、隐函数（⚠️隐函数的条件） 函数的有界性、上下界、上下确界 1、狄利克雷函数 注意狄利克雷函数的黎曼不可积性。它在很多地方可以作为一个反例。 KaTeX parse error: No such environment: equation at position 8: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲}̲ D(x) = \begin… 周期函数不一定具有最早正周期
【考研数学】高等数学第一模块——函数、极限、连续
Douglas的博客
07-19 1434
介绍了高数第一模块——函数、极限、连续的基本内容。
极限与连续知识点总结_2021考研高数考纲知识点解析及高效复习方案
weixin_42302142的博客
01-01 430
2021届考研数学大纲终于跟我们见面了，今年的大纲和去年的大纲相比，数学题型有所调整，分数有所变化，内容数一，数二基本没有变化，数三变化较大，难度提升，主要是在微分方程和无穷级数。　　数一、三高等数学占比调整为60%，线性代数占比调整为20%，概率统计占比20%。数二高等数学占比调整为80%，线性代数占比调整为20%。　　选择题：1-10题，10个，每题5分，共50分;填空：11-16题，6个，...
考研数学二复习笔记-高等数学-第一章 函数 极限 连续
qq_61249949的博客
03-02 1215
反函数: 1.y=sinx -->反函数为 y = arcsinx x∈[-π2\frac{π}{2}2π​,π2\frac{π}{2}2π​] 推广: y = π-arcsin x,x∈[π2\frac{π}{2}2π​,32\frac{3}{2}23​π] 推算过程: y=sinx = sin(π-x) 因此反函数1. x = arcsiny 2.π-x=arcsiny 2.y = cosx -->反函数 y = arccos x 推广:y = arccos x,x∈[0,π] &
考研数学思维导图高等数学高数第1讲：极限-打印版.pdf
05-14
- **函数极限的应用**：包括研究函数的位置特性、连续性等。 #### 二、数列极限 **2.1 数列极限定义及使用** - **定义**：若对于任意的正数ε，存在正整数N，当n>N时，总有|xn-A|<ε成立，则称数列\({x_n}\)的极限...
23年考研1800习题第一章函数、极限、连续（已更完）
04-03
总结来说，这部分内容涉及了考研数学中函数、极限和连续性的重要知识点，包括泰勒公式的应用，无穷小等价替换的理解，以及洛必达法则的使用。掌握这些概念和方法对于备考考研数学，特别是数二的同学来说至关重要。...
考研高等数学第一讲手写笔记 函数、极限与连续
Lora青蛙的博客
01-04 2999
函数 极限 连续
# 数学基础task 01 函数极限与连续性
qq_51605067的博客
08-18 1068
数学基础task 01 函数极限与连续性 数列极限 数列极限定义与性质 无穷数列是发散的，a根本不存在是发散的。 定理：若数列收敛，则其任何子列也收敛（如果找到一个子列是发散的，那么原数列是发散的！） 唯一性：给出数列的极限存在，极限值是唯一的。 有界性：数列极限存在，则该数列有界。 保号性：数列存在极限且极限大于0则在大于某一正整数的情况下数列大于0 极限运算规则 （基于极限存在的情况下） 1.函数和差的极限等于函数极限值的和差。 2.函数乘积的极限等于函数极限值的乘积。
极限的求法
hscker的博客
12-09 9798
一 求极限的思路 1 如果式子只含有x时，x→0时，忽略低阶（即省略），x→无穷，忽略高阶。 2 利用等价代换替代等价无穷小（只有当想要替换的函数为因子时才可以替换），任何连续函数为因子时都可以直接将函数值作为极限值代入。 3 结合洛必达和等价代换求解。 4 泰勒展开。 （1）泰勒展开 1. 泰勒中值定理和拉格朗日余项（适用于任何x0与x，理论上x不必趋近x0） 泰勒中值定理 拉格朗日余项 ...
【考研数学】数一-数学概念anki卡片合集-547张-23000字-22电子科大考研上岸整理
JimDu_dwj的博客
11-19 2388
考研数学一-数学概念anki卡片合集-547张-23000字-22电子科大考研上岸整理
高数(上) Ch7.微分方程
Edward2022的博客
10-03 1万+
微分方程：一阶、二阶
MIT单变量微积分笔记2——导数2
sjtubn的博客
03-13 538
幂函数的扩展： f(x) = xn的导数：f’(x) = nxn-1，n是整数，该公式对f(x) = xm/n, m,n 是整数同样适用。 两端同时求导，由于y是x的函数，根据链式求导法则： 隐函数的定义： 本质上F(x,y)=0函数y=f(x)是一样的，但是在数学理论中，总有一些函数，人们已经证明它们的函数关系，但是还是无法表示成显函数的形式，就叫做隐函数。隐函数一般是一个含x,...
极限求法总结（二）
weixin_47252719的博客
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目录利用定义证明函数的直接代入法通过计算单侧极限求分段函数极限 利用定义证明 利用定义证明一个极限等式成立，首先要知道这个极限等于几. 有时你不知 道极限等于几，也可以通过直觉或归纳或其他方法猜出它等于几，再证明。证明之前，首先要熟谙关于极限的全部定义，前面都有。 接下来说明一下怎么证明一个极限等式成立。我以数列极限为例说明一下吧，其实函数极限也类似，精髓都在于：在任取ξ\xiξ>后，只要找到一个N或者X或者ξ\xiξ满足定义条件，就能说明原极限等式成立。 例1：证明lim⁡n→+∞\lim_{n\r
python中的ln函数_python中的对数log函数表示及用法
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取整函数及其性质
风云龙儿的专栏
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1、定义：取整函数是一类将实数映射到相近的整数的函数。 2、分类：常用的取整函数有两个，分别是下取整函数和上取整函数。 3、形式： 下取整函数在数学中一般记作，在计算机科学中一般记作 floor(x)； 上取整函数在数学中一般记作，在计算机科学中一般记作ceil(x)。 4、性质：(仅列举计算机学习中经常用到的性质) a) ， ，
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09-29 788
连接步骤 完成
考研数学 函数连续性 考研例题
最新发布
04-22
<think>嗯，用户需要关于考研数学中函数连续性的例题和解题方法。首先，我得确认用户的具体需求。他们可能正在准备考研数学，尤其是连续性的部分，需要例题和解析来巩固知识点，同时解题技巧也很重要。 首先，我应该回忆一下函数连续性的基本概念。根据定义，函数在某点连续需要满足三个条件：函数在该点有定义，极限存在，且极限值等于函数值。特别是分段函数的分段点，这通常是考察的重点，因为这里容易出问题。 然后，例题方面，可能需要包括分段函数、绝对值函数、带有分母的函数等常见类型。例如，分段函数在分段点处的连续性判断，可能需要分别计算左右极限，并比较它们是否相等且等于函数值。比如用户之前提到的例子，当x≥0时f(x)=x²，x<0时f(x)=-x，在x=0处的连续性。这时候左极限是0，右极限也是0，函数值也是0，所以连续。 接下来是解题技巧，可能需要强调分步验证，尤其是特殊点的处理。比如分母为零的点，绝对值函数的转折点，或者分段函数的分段点。另外，可能需要结合导数是否存在来判断连续性，但要注意连续不一定可导，可导一定连续。 用户可能还希望了解常见的错误或易错点，比如忽略某一边的极限，或者计算错误。此外，真题中的综合应用，比如连续性结合导数、积分等知识点，这也是考研中常见的题型。 然后，我需要查找一些典型的例题，比如带有参数的函数连续性判断，这需要参数满足什么条件才能连续。例如，给定一个含有参数a的分段函数，要求在x=1处连续，求a的值。这种题目需要解方程，将左右极限相等并等于函数值。 另外，绝对值函数的处理也是一个重点，比如将函数写成绝对值形式，然后在转折点处分开讨论。例如f(x)=|x-a|，在x=a处的连续性，虽然左右极限相等，但可能存在尖点导致不可导，但连续。 还需要考虑函数的四则运算和复合函数的连续性，比如连续函数的和、差、积、商（分母不为零）以及复合函数都是连续的。这些定理的应用可能在解题中用到。 对于解题方法，可能需要分步骤：首先确定可疑的不连续点，然后分别计算这些点的左右极限和函数值，最后比较是否满足连续的定义。此外，图像法可能帮助理解，尤其是在快速判断是否存在跳跃或可去间断点的时候。 然后，关于例题解析的结构，可能需要每个例题都包含题目、解析步骤和关键点总结。例如，例题1可以是分段函数在分段点的连续性判断，例题2是含有参数的函数连续性，例题3是绝对值函数的连续性分析。 最后，相关问题部分需要基于用户的问题和回答内容，比如多元函数的连续性判断，连续性与可导性的关系，或者闭区间上连续函数的性质应用。这些问题应该能够帮助用户进一步深入理解连续性的相关知识，并解决可能的相关问题。</think>针对考研数学中函数连续性的考查重点，结合历年真题和权威教材整理以下例题解析与解题技巧： **一、典型例题解析** **例题1**（分段函数连续性） 分析函数$f(x)=\begin{cases} e^{1/x} & x \neq 0 \\ 0 & x =0 \end{cases}$在x=0处的连续性 **解题步骤**： 计算$\lim_{x→0^-} e^{1/x}=0$，$\lim_{x→0^+} e^{1/x}=+\infty$ 因左右极限不相等，故x=0为第二类间断点（无穷间断点） **例题2**（含参函数连续性） 确定$a$值使$f(x)=\begin{cases} x^2+2 & x ≤1 \\ ax+1 & x >1 \end{cases}$在x=1处连续 **解题步骤**： 计算左极限$\lim_{x→1^-}f(x)=1^2+2=3$ 右极限$\lim_{x→1^+}f(x)=a·1+1=a+1$ 令$3=a+1$得$a=2$ **二、核心解题技巧** **1. 三步验证法** 严格遵循连续性定义验证： - 检查$f(x_0)$是否存在 - 计算$\lim_{x→x_0}f(x)$是否存在 - 验证两者是否相等 **2. 特殊点处理表** | 函数类型 | 重点检查点 | 典型例题 | |----------------|---------------------|---------------------------| | 分段函数 | 分段连接点 | $f(x)=\frac{|x|}{x}$在x=0 | | 有理函数 | 分母零点 | $f(x)=\frac{1}{(x-2)(x+3)}$ | | 复合函数 | 内外函数定义域交界 | $f(x)=\ln(1+\cos x)$ | **3. 间断点分类技巧** ```mathematica 第一类间断点（左右极限存在）： - 可去间断点：lim f(x) ≠ f(x₀) - 跳跃间断点：lim⁻f(x) ≠ lim⁺f(x) 第二类间断点：至少单侧极限不存在 ``` **三、真题进阶技巧** 1. **连续性+可导性综合题** 当题目要求"确定函数连续且可导"时，需分别建立方程： $$\begin{cases} \lim_{x→x_0}f(x) = f(x_0) \\ \lim_{h→0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \text{ 存在} \end{cases}$$ 2. **参数分析法** 对于含参函数$f(x)=\begin{cases} g(x) & x ≤a \\ h(x) & x >a \end{cases}$，建立方程： $$g(a) = \lim_{x→a^+}h(x)$$ **四、易错点警示** - 忽略函数定义域边界点（如$f(x)=\sqrt{x}$在x=0处） - 误判振荡间断点（如$f(x)=\sin\frac{1}{x}$在x=0处） - 复合函数连续性误用（外函数连续但内函数不连续时整体不连续）
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