堆排序

堆排序

• 堆排序(Heapsort)是指利用堆积树（堆）这种数据结构所设计的一种排序算法，它是选择排序的一种。可以利用数组的特点快速定位指定索引的元素。堆分为大堆和小堆，是完全二叉树。大堆的要求是每个节点的值都不大于其父节点的值，即A[PARENT[i]] >= A[i]。在数组的非降序排序中，需要使用的就是大根堆，因为根据大根堆的要求可知，最大的值一定在堆顶。
• 堆排序利用了大根堆（或小根堆）堆顶记录的关键字最大（或最小）这一特征，使得在当前无序区中选取最大（或最小）关键字的记录变得简单。
  （1）用大根堆排序的基本思想
  ① 先将初始文件R[1…n]建成一个大根堆，此堆为初始的无序区
  ② 再将关键字最大的记录R[1]（即堆顶）和无序区的最后一个记录R[n]交换，由此得到新的无序区R[1…n-1]和有序区R[n]，且满足R[1…n-1].keys≤R[n].key
  ③由于交换后新的根R[1]可能违反堆性质，故应将当前无序区R[1…n-1]调整为堆。然后再次将R[1…n-1]中关键字最大的记录R[1]和该区间的最后一个记录R[n-1]交换，由此得到新的无序区R[1…n-2]和有序区R[n-1…n]，且仍满足关系R[1…n-2].keys≤R[n-1…n].keys，同样要将R[1…n-2]调整为堆。
  ……
  直到无序区只有一个元素为止。
  （2）大根堆排序算法的基本操作：
  ①建堆，建堆是不断调整堆的过程，从len/2处开始调整，一直到第一个节点，此处len是堆中元素的个数。建堆的过程是线性的过程，从len/2到0处一直调用调整堆的过程，相当于o(h1)+o(h2)…+o(hlen/2) 其中h表示节点的深度，len/2表示节点的个数，这是一个求和的过程，结果是线性的O(n)。
  ②调整堆：调整堆在构建堆的过程中会用到，而且在堆排序过程中也会用到。利用的思想是比较节点i和它的孩子节点left(i),right(i)，选出三者最大(或者最小)者，如果最大（小）值不是节点i而是它的一个孩子节点，那边交互节点i和该节点，然后再调用调整堆过程，这是一个递归的过程。调整堆的过程时间复杂度与堆的深度有关系，是lgn的操作，因为是沿着深度方向进行调整的。
  ③堆排序：堆排序是利用上面的两个过程来进行的。首先是根据元素构建堆。然后将堆的根节点取出(一般是与最后一个节点进行交换)，将前面len-1个节点继续进行堆调整的过程，然后再将根节点取出，这样一直到所有节点都取出。堆排序过程的时间复杂度是O(nlgn)。因为建堆的时间复杂度是O(n)（调用一次）；调整堆的时间复杂度是lgn，调用了n-1次，所以堆排序的时间复杂度是O(nlgn)
• 注意

①只需做n-1趟排序，选出较大的n-1个关键字即可以使得文件递增有序。
②用小根堆排序与利用大根堆类似，只不过其排序结果是递减有序的。堆排序和直接选择排序相反：在任何时刻堆排序中无序区总是在有序区之前，且有序区是在原向量的尾部由后往前逐步扩大至整个向量为止

• 时间复杂度：O(N*logN)
• 由于建初始堆所需的比较次数较多，所以堆排序不适宜于记录数较少的文件。
• 空间复杂度：O(1)
• 稳定性：它是不稳定的排序方法。（排序的稳定性是指如果在排序的序列中，存在前后相同的两个元素的话，排序前 和排序后他们的相对位置不发生变化）

代码实现

• 我定义一个函数指针为了让用户输入Less(小堆)或者Great(大堆)，即可实现其功能。

typedef int(*Pcompare)(int left, int right);

int Less(int left, int right)
{
	return left < right;
}

int Great(int left, int right)
{
	return left > right;
}

• 为了便于调试，我定义了一个打印数组元素的函数

void PrintArray(int* array,int size)
{
	for (int i = 0; i < size; i++)
		printf("%d ", array[i]);
	printf("\n");
}

• 这时堆排序的主要思路：首先用向下调整法将数组元素在数组中建立起一个堆，建立大堆还是小堆由用户决定。假设建立的是大堆，那么堆的堆顶元素就是集合中最大的元素，接下来，将堆顶元素与堆中最后一个元素进行交换，将size-1，用剩下的size-1个元素继续建立堆，然后又将堆顶元素和第size-1个元素进行交换。依次类推，当走到size=1的时候，我们就得到了一个排好序的数组了

void AdjustDown(int* array, int size, int parent,Pcompare compare)
{
	int child = (parent << 1) + 1;
	
	while (child < size)
	{
		if (child + 1 < size && compare(array[child], array[child + 1]))
			child += 1;

		if (compare(array[parent] , array[child]))
		{
			Swap(&array[child], &array[parent]);
			parent = child;
			child = (parent << 1) + 1;
		}
		else
			return;
	}
}

void HeapSort(int* array, int size,Pcompare compare)
{
	assert(array);
	int root = ((size - 2) >> 1);

	for (; root >= 0; root--)
		AdjustDown(array, size, root, compare);

	for (int j = 0; j < size - 1; j++)
	{
		Swap(&array[0], &array[size - 1 - j]);
		AdjustDown(array, size - j - 1, 0, compare);
	} 
}

• 我的测试代码

void TestHeapSort()
{
	int array[] = { 3, 5, 7, 2, 1, 4, 6 };
	int size = sizeof(array) / sizeof(int);
	PrintArray(array, size);
	HeapSort(array, size, Less);
	PrintArray(array, size);
}

最后附上我的所有代码

#pragma once
#include<assert.h>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

typedef int(*Pcompare)(int left, int right);

int Less(int left, int right)
{
	return left < right;
}

int Great(int left, int right)
{
	return left > right;
}

void Swap(int* a, int* b)
{
	int temp = *a;
	*a = *b;
	*b = temp;
}

void AdjustDown(int* array, int size, int parent,Pcompare compare)
{
	int child = (parent << 1) + 1;
	
	while (child < size)
	{
		if (child + 1 < size && compare(array[child], array[child + 1]))
			child += 1;

		if (compare(array[parent] , array[child]))
		{
			Swap(&array[child], &array[parent]);
			parent = child;
			child = (parent << 1) + 1;
		}
		else
			return;
	}
}

void HeapSort(int* array, int size,Pcompare compare)
{
	assert(array);
	int root = ((size - 2) >> 1);

	for (; root >= 0; root--)
		AdjustDown(array, size, root, compare);

	for (int j = 0; j < size - 1; j++)
	{
		Swap(&array[0], &array[size - 1 - j]);
		AdjustDown(array, size - j - 1, 0, compare);
	} 
}

void PrintArray(int* array,int size)
{
	for (int i = 0; i < size; i++)
		printf("%d ", array[i]);
	printf("\n");
}

void TestHeapSort()
{
	int array[] = { 3, 5, 7, 2, 1, 4, 6 };
	int size = sizeof(array) / sizeof(int);
	PrintArray(array, size);
	HeapSort(array, size, Less);
	PrintArray(array, size);
}

以上是我对于堆排序的认识，如有问题，欢迎下方留言