<think>我们被要
求生成
1到n范围内所有质数的算法或代码实现。根据提供的引用，有几种
不同的方法可以实现这个目标。
1.最简单的方法是使用试除法：对于每个数i（从2到n），检查它是否能被2到i
-1之间的任何整数整除。如果
不能，则它是质数。但这种方法效率较低，时间复杂度为$O
(n^2
)$。2.改进的试除法：在检查i是否为质数时，只需要检查2到$\sqrt{i}$
之间的整数即可，因为如果i有
一个大于$\sqrt{i}$的因子，那么必然有
一个小于或等于$\sqrt{i}$的因子。这样可以将内层循环的次数减少到$O
(\sqrt{i}
)$，总时间复杂度约为$O
(n\sqrt{n}
)$。3.埃拉托斯特尼筛法（SieveofEratosthenes）：这是一种更高效的方法，特别适用于生成一定范围内的所有质数。其基本思想是从2开始，将每个质数的倍数都标记为非质数。当到达n时，未被标记的数就是质数。这种方法的时间复杂度为$O
(n\log\logn
)$。根据引用[5]中提到的埃拉托斯特尼筛法，我们可以使用这种方法来生成
1到n范围内的所有质数。下面我们分别给出这两种方法的代码实现（以Java为例），
并分析其优缺点。###方法
1：试除法（改进版）```javaimportjava.util.ArrayList;publicclassPrimeNumbers{publicstaticArrayList<Integer>getPrimesByTrialDivision
(intn
){ArrayList<Integer>primes=newArrayList<>
();if
(n<2
){returnprimes;}//2是质数，先加入primes.add
(2
);//从3开始，只考虑奇数for
(inti=3;i<=n;i+=2
){booleanisPrime=true;intsqrt=
(int
)Math.sqrt
(i
);//检查从3到sqrt
(i
)的奇数（因为i是奇数，所以
不需要检查
偶数因子）for
(intj=0;j<primes.size
();j++
){intprime=primes.get
(j
);if
(prime>sqrt
){break;}if
(i%prime==0
){isPrime=false;break;}}if
(isPrime
){primes.add
(i
);}}returnprimes;}}```###方法2：埃拉托斯特尼筛法```javaimportjava.util.ArrayList;publicclassPrimeNumbers{publicstaticArrayList<Integer>sieveOfEratosthenes
(intn
){//创建
一个布尔数组，初始值都为false，表示是质数。数组下标0到n，0
和1不用。boolean[]isComposite=newboolean[n+
1];//默认false，表示质数。true表示合数。ArrayList<Integer>primes=newArrayList<>
();if
(n>=2
){primes.add
(2
);}//从3开始，遍历所有奇数for
(inti=3;i<=n;i+=2
){if
(!isComposite[i]
){primes.add
(i
);//注意：为了避免溢出，判断i*i<=nif
(i<=Math.sqrt
(n
)){//从i*i开始标记，因为更小的倍数已经被之前的质数标记过了for
(intj=i*i;j<=n;j+=i
){isComposite[j]=true;}}}}returnprimes;}}```注意：在埃拉托斯特尼筛法中，我们通常从2开始，但这里为了优化，我们只考虑奇数（除了2）。我们创建了
一个布尔数组`isComposite`，其索引代表
数字，值为`true`表示该索引对应的数是合数，值为`false`表示质数。我们首先将2加入质数列表，然后从3开始遍历所有奇数，如果当前数`i`没有被标记为合数（即`isComposite[i]`为`false`），则将其加入质数列表，
并标记它的倍数（从`i*i`开始，步长为`i`）为合数。###性能比较
-试除法在小范围内（比如n<
10000）可以接受，但当n较大时（如n=
1000000），效率会明显低于筛法。
-埃拉托斯特尼筛法在生成大范围内的质数时效率更高。###示例调用```javapublicstaticvoidmain
(String[]args
){intn=
100;ArrayList<Integer>primes
1=getPrimesByTrialDivision
(n
);System.out.println
("试除法得到的质数："+primes
1);ArrayList<Integer>primes2=sieveOfEratosthenes
(n
);System.out.println
("筛法得到的质数："+primes2
);}```###注意事项
-在试除法中，我们只检查到$\sqrt{i}$，
并且只使用已经找到的质数作为除数，这样效率更高。
-在筛法中，我们只标记从`i*i`开始，因为更小的倍数（如`i*2`,`i*3`等）已经被更小的质数标记过了。§§相关问题§§
1.埃拉托斯特尼筛法的时间复杂度是多少？如何推导？2.除了埃拉托斯特尼筛法，还有哪些高效的质数筛选算法？3.如何处理非常大的n（例如
10亿）来生成质数？4.如何用
并行
计算优化质数生成算法？5.质数生成算法在实际应用中的例子有哪些？</think>### 生成
1到n范围内所有质数的算法及实现
####
1. **基础试除法（直接判断）**
**原理**：对每个数 $i$（$2 \leq i \leq n$），检查是否能被 $2$ 到 $\sqrt{i}$
之间的整数整除。
```java
public static List<Integer> getPrimesBasic
(int n
) {
List<Integer> primes = new ArrayList<>
();
for
(int i = 2; i <= n; i++
) {
boolean isPrime = true;
for
(int j = 2; j <= Math.sqrt
(i
); j++
) {
if
(i % j == 0
) {
isPrime = false;
break;
}
}
if
(isPrime
) primes.add
(i
);
}
return primes;
}
```
- **时间复杂度**：$O
(n \sqrt{n}
)$
- **缺点**：效率低，适合小范围（$n <
10^4$）[^4]。
---
#### 2. **埃拉托斯特尼筛法（高效推荐）**
**原理**：标记非质数，未标记的即为质数。
1. 初始化布尔数组 `isPrime[0..n]`，默认全为 `true`。
2. 从 $2$ 开始，若 `isPrime[i]` 为 `true`，则将所有 $i$ 的倍数标记为 `false`。
3. 收集所有未被标记的数。
```java
public static List<Integer> sieveOfEratosthenes
(int n
) {
boolean[] isPrime = new boolean[n +
1];
Arrays.fill
(isPrime, true
); // 初始化为true
isPrime[0] = isPrime[
1] = false; // 0
和1不是质数
for
(int i = 2; i * i <= n; i++
) {
if
(isPrime[i]
) {
// 标记i的倍数（从i*i开始优化）
for
(int j = i * i; j <= n; j += i
) {
isPrime[j] = false;
}
}
}
// 收集质数
List<Integer> primes = new ArrayList<>
();
for
(int i = 2; i <= n; i++
) {
if
(isPrime[i]
) primes.add
(i
);
}
return primes;
}
```
- **时间复杂度**：$O
(n \log \log n
)$
- **优势**：适合大范围（$n \leq
10^7$）[^5]。
---
#### 3. **优化试除法（跳过
偶数）**
**原理**：除 $2$ 外，只检查奇数。
```java
public static List<Integer> getPrimesOptimized
(int n
) {
List<Integer> primes = new ArrayList<>
();
if
(n >= 2
) primes.add
(2
); // 单独处理2
for
(int i = 3; i <= n; i += 2
) { // 只遍历奇数
boolean isPrime = true;
for
(int j = 3; j <= Math.sqrt
(i
); j += 2
) { // 只用奇数试除
if
(i % j == 0
) {
isPrime = false;
break;
}
}
if
(isPrime
) primes.add
(i
);
}
return primes;
}
```
- **效率提升**：减少 $50\%$ 的循环次数[^3]。
---
### 性能对比
| 算法 | 时间复杂度 | 适用场景 |
|
------------------|
------------------|
------------------|
| 基础试除法 | $O
(n \sqrt{n}
)$ | $n <
10^4$ |
| 优化试除法 | $O
(n \sqrt{n}
)$ | $n <
10^5$ |
| 埃拉托斯特尼筛法 | $O
(n \log \log n
)$ | $n \leq
10^7$ |
> **建议**：$n <
10^5$ 时用优化试除法；$n \geq
10^5$ 时用筛法。
### 示例调用
```java
public static void main
(String[] args
) {
int n =
100;
List<Integer> primes = sieveOfEratosthenes
(n
);
System.out.println
("
1到" + n + "的质数：" + primes
);
}
```
博客给出一段Python代码，用于计算给定数字n（不包括n）以内所有偶数的和。代码通过输入n，利用while循环和取模运算判断偶数并累加求和，最后输出结果。
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