ttk: Triangluation 类 - 包括莫尔斯理论中一些概念！！

本文介绍了TTK中的三角剖分派生体系，包括AbstractTriangluation及其派生类。阐述了相关术语，如localID、globalID等。还介绍了类AbstractTriangluation的数据成员，重点讨论显式三角面片的数据结构及重要函数，如获取顶点坐标、边信息、三角形信息等，以及系列判断和预处理函数。

一、派生体系

AbstractTriangluation

|--------> ImplicitTriangulation (如图像，规则网）

|---------> ExplicitTriangulation （三角面片）

|---------> Triangulation

|---> this class has the following members:

（1） AbstractTriangulation *abstractTriangulation_; // 这个要不指向explicitTriangulation_，要不指向implicitTriangulation_
（2） ExplicitTriangulation explicitTriangulation_;
（3） ImplicitTriangulation implicitTriangulation_;

在ttk中，localID通常指在小表中的次序，而globalID - 指大表中的次序。

We refer to 2-dimensional cells of the MS-complex as MS-cells, and 1-dimensional cells as MS-edges. Cell在TTK中相当于最高维的simplex（单纯形）:

A 0-simplex is a point.
A 1-simplex is a line segment.
A 2-simplex is a triangle.
A 3-simplex is a tetrahedron.
A 4-simplex is a 5-cell.

术语：

（1）quadrilateral - 四边形，也叫quadrangle （对应于triangle),或者tetragon(对应polygon, pertagon, hexagon)

（2） Edge Star of vertex, 和某个vertex链接的所有Edge (Let v be a vertex, and let S(v) be the edge star of v consisting of the set of edges incident to v)

(3) The lower edge star（和某个vertex链接所有Edge, 且另外一个顶点标量值小于vertex的标量值） S ↓ (v) consists of the subset of edges whose endpoints are lower than v with respect to h -- the scalar value of the current vertex。一个最大值，周围的边都符合the lower edge star; 一个极小值，周围没有the lower edge; 一个规则点（regular)周围有部分lower edge以及部分upper edge。

(4) the upper edge star S ↑ (v) = S(v) \ S ↓ (v), 即（和某个vertex链接所有Edge, 且另外一个顶点标量值大于vertex的标量值）。一个最大值，周围不存在the upper edge star; 一个极小值，周围都是the upper edge; 一个规则点（regular)周围有部分lower edge以及部分upper edge。

(5) Wedge: 楔；楔形物；楔入；用楔子楔牢；挤进。在morse 理论中，相当于saddle点向上/或者向下的部分，相当于鞋拔子部分。

(6) VertexStar， EdgeStar 这些都表示某个点/边所邻接的CELL

2维数据场：vertexStar就是顶点周围的所有三角形， EdgeStar是某条边的所有邻接三角形（最多2个，最少1个）

3维数据场：vertexStar就是顶点周围的所有四面体， EdgeStar即使某条边的所有邻接四面体

即：这个vertexStar是这些Cell的唯一公共点，这个EdgeStar是周围所有Cell的唯一公共边。

二、总的介绍

1. functionalities Triangulation is a class that provides time and memory efficient traversal methods on triangulations of piecewise linear manifolds. It provides the following features: (1) Given a vertex, it provides: （顶点-边） —— the list of edges that are connected to it, --- the list of its neighbors, its link, its star, etc. （2） Given an edge, it provides:（边-顶点） —— its vertices, —— its star, etc. （3）Given a triangle, its provides: -- its vertices, -- its edges, etc. —— 邻接三角形（4）Given a tetrahedron, its provides: —— its vertices, —— its edges, —— its neighbor tetrahedra, etc. (5) Given a triangulation, it provides: -- its list of vertices, -- its list of edges, -- its list of triangles -- and its tetrahedra. 2. What's Explicite and Implicite Triangluations (1) Explicit triangulations: Given a list of points and a list of cells, Triangulation provides time efficient accesses (requiring adequate pre-processing, see the documentation furtherdown). (2)Implicit triangulations: Given a regular grid (origin, spacings and dimensions), Triangulation will perform an implicit triangulation of the grid, enabling both time and memory efficient traversals of triangulations of regular grids.

三、类AbstractTriangluation

// 是否是边界元素

std::vector<bool> boundaryEdges_,
boundaryTriangles_,
boundaryVertices_;

// CELL - Edge 表, 如果localEdgeID就是指在每个cell对应Edge数据组中的序号，如果EdgeID可能指的就是全局大表中位置
std::vector<std::vector<SimplexId> >
cellEdgeList_;

// CELL的邻居表(若干个邻居）
std::vector<std::vector<SimplexId> > cellNeighborList_;

// 三维标量场才有：每个Cell包含的Triangle表)，可以对应多个triangle, 如四面体有三个面~
std::vector<std::vector<SimplexId> > cellTriangleList_;

//每个Edge的邻接？？？？？？？？？
std::vector<std::vector<SimplexId> > edgeLinkList_;

// 边表（边ID，边ID），重要，重要
std::vector<std::pair<SimplexId, SimplexId> > edgeList_;

//？？？
std::vector<std::vector<SimplexId> > edgeStarList_;

// 每个边的邻接三角形
std::vector<std::vector<SimplexId> > edgeTriangleList_;

//三角形表（3 点1，点2，点3）-（3 点1，点2，点3）
std::vector<std::vector<SimplexId> > triangleList_;

//每个三角形的边表（边1，边2，边3）
std::vector<std::vector<SimplexId> > triangleEdgeList_;

// 每个三角形的邻接三角形？？？？？？？？？？？？？？？？？
std::vector<std::vector<SimplexId> > triangleLinkList_;

//三维标量场才有：？？？？？
std::vector<std::vector<SimplexId> > triangleStarList_;

// 顶点 -边表， 边1-边2-边3-----。。。。
std::vector<std::vector<SimplexId> > vertexEdgeList_;

// 顶点----？？？？？？？？？？？？？？？？？？
std::vector<std::vector<SimplexId> > vertexLinkList_;

//？？？？？？？？？？？？？？
std::vector<std::vector<SimplexId> > vertexNeighborList_;

//？？？？？？？？？？？？？
std::vector<std::vector<SimplexId> > vertexStarList_;

// 三维标量场才有：顶点-邻接三角形表
std::vector<std::vector<SimplexId> > vertexTriangleList_;

四、重要函数 // 只讨论显式三角面片的数据结构

特别注意：Cell，在ttk中指最高维的simplicies,如：（3D: tetrahedra, 2D: triangles, 1D: edges).如果是二维标量场，就是Triangle, 三维标量场就是tetrehedra, 一般我们处理的二维标量场，如地形数据，即使triangle.

1. 基本功能，得到点、边信息
—— 得到三角网内顶点数目，存在成员vertexNumber_
inline SimplexId getNumberOfVertices() const { return vertexNumber_;}

—— 得到三角面片中ID为vertexId的顶点坐标，存在ExpliciteTriangluation::pointSet_，存储：x-y-z-x-y-z-x-y-z.....................

int getVertexPoint(const SimplexId &vertexId, float &x, float &y, float &z)

—— 得到边信息（边表（id1,id2) --(id1,id2) -- (id1, Id2) --(id1, id2) --(id1, Id2) ...................

inline const std::vector<std::pair<SimplexId, SimplexId> > *getEdges()
{
return &edgeList_; // vector< pair<SimplexId, SimplexId> > edgeList_； // 边表，每个节点存储了组成边的节点ID
}

—— 得到三角形信息

      inline SimplexId getNumberOfTriangles();
      inline const std::vector<std::vector<SimplexId> > *getTriangles()

注意在TTK中，二维标量场的三角面片信息存储在数组中：

pointSet_； // 点信息， x y z x y z x y z

cellNumber_;
cellArray_; // 次序 3 1 2 3, 3 2 3 4, 3 5 6 7 (实际没有逗号，就是 // 定点数顶点ID01 顶点ID02 顶点ID03 定点数顶点ID11 顶点ID12 顶点ID33 .。。。。。

标量信息：

height[vertexId] = pointSet[i]; // 存储标量场信息！！！！！！！！！！！！！

offsets[vertexId] = vertexId; // offsets[]存储的就是ID

—— 得到维度信息

getDimensionality()

3.得到组成cell的边ID(此前需要调用过耗时的preprocessCellEdges() 函数)，存在ExpliciteTriangluation::cellEdgeList_，

inline int getCellEdge(const SimplexId &cellId, // cell id
const int &localEdgeId, // edge在这个cell中的次序，序号！
SimplexId &edgeId) const // 返回边ID，在边表中的次序，最终存在ExpliciteTriangluation::edgeList_;

返回： edgeId = cellEdgeList_[cellId][localEdgeId];
说明：（1）vector<std::pair<SimplexId, SimplexId> > edgeList_; //存储了边的两个顶点的ID号，通过这两个id找到pointSet_就可以把坐标取出来；

（2）inline SimplexId getCellEdgeNumber(const SimplexId &cellId) ---> 这个函数可返回cell中边的数目；

（3）也可以直接调用 inline const std::vector<std::vector<SimplexId> > *getCellEdges()得到整个 cell-边的大表，可直接访问任意cell的任意边信息

二维数据场：等价于GetTriangleEdge() / getTriangleEdgeNumber()

三维数据场：就调这个啦！

4.得到cell的邻居(理论上，也是cell)，存储在cellNeighborList_

int getCellNeighbor(const SimplexId &cellId,const int &localNeighborId/*数组下标*/, SimplexId &neighborId/*全局ID*/)

SimplexId getCellNeighborNumber(const SimplexId &cellId)； //得到cell neighbor个数

二维标量场：得到三角形

三维标量场：得到四面体

5.得到组成最高维cell的的三角形ID信息(这个cell是tetrehedra)，存储在cellTriangleList_，

int getCellTriangle(const SimplexId &cellId,const int &localTriangleId, SimplexId &triangleId)

SimplexId getCellTriangleNumber(const SimplexId &cellId)

const std::vector<std::vector<SimplexId> > *getCellTriangles() // 这个粗暴野蛮，返回全部cell的组成三角形信息

附：vector< vector<SimplexId> > cellTriangleList_; //里面存储了组成本cell的每个三角形ID信息

如四面体的组成三角形：

cellTriangleList_[cellID][0] -->cellTriangleList_[cellID][1] --> cellTriangleList_[cellID][2] -->cellTriangleList_[cellID][3]

特别得:(1) 如果二维情况下，本函数等价于调用getCellNeighbor()

(2) 调用本函数，必须调用过耗时的preprocessCellTriangles()函数

6.得到组成cell的顶点ID信息，特别注意这个Cell也只指最高维simplicies的几何体（3D: tetrahedra, 2D: triangles, 1D: edges).

存储在：ExpliciteTriangluation:: const LongSimplexId *cellArray_; 这个一维数据中！

cellArray_[0]存储了每个cell的点的个数，本质上可以理解成三角面片OFF文件中三角面片的信息如：

3 1 2 3 # 一个cell包含3个顶点，三个顶点的ID分别是1 2 3

3 2 3 4 # 一个cell包含3个顶点，三个顶点的ID分别是2 3 4

如果是3维标量场，第一个数就是4了

inline SimplexId getCellVertexNumber(const SimplexId &cellId) const //每个CELL包含的点数，是常数！
{
return cellArray_[0]; //第一个Cell中点的个数，和其他所有cell包含的点的个数完全一致！
}

int getCellVertex(const SimplexId &cellId,const int &localVertexId, SimplexId &vertexId) // CellID中第localVertexId顶点ID

返回 vertexId = cellArray_[(cellArray_[0] + 1)*cellId + localVertexId + 1];

7.拓扑：求取某Edge连接顶点(输入：edgeId, 第localLinkId个顶点的ID），特别地：The output linkId refers in 2D to a vertex identifier and in 3D to an edge identifier. 也就是说2维向量场，返回的是连接的顶点id

inline int getEdgeLink(const SimplexId &edgeId, const int &localLinkId, SimplexId &linkId) const

SimplexId getEdgeLinkNumber(const SimplexId &edgeId)；//某Edge邻接顶点个数！！！丛数据结构上看，这个连接顶点数不定！

说明：

在ExpliciteTriangle中存储在：vector< vector<SimplexId> > edgeLinkList_;

8. 得到一条边的所有邻接CEll数目（EdgeStar of Edge, 还有一个概念是Edge star of Vertex, 前者是得到边的邻接边，后者得到点的邻接三角形，所以在二维标量数据场上，一条边的starEdge最大是2，最小是1；如果是1，意味着它一定是边界边！)； \

int getEdgeStar(const SimplexId &edgeId, const int &localStarId, SimplexId &starId
SimplexId getEdgeStarNumber(const SimplexId &edgeId)
const std::vector<std::vector<SimplexId> > *getEdgeStars()

如果2维标量场：EdgeStarNumber（）/EdgeStar返回的是邻接三角形的个数或三角形！！！！

如果3维标量场：EdgeStarNumber（）/EdgeStar返回的是临界四面体的个数或四面体！！！！

9. getEdgeTriangle(), 在2维向量场上面，这个函数等价于getEdgeStar（），E-T关系

对于三维向量场，这个函数求取以edgeId为边的三角形ID，返回的是triangleId

   int getEdgeTriangle(const SimplexId &edgeId,const int &localTriangleId, SimplexId &triangleId) 
   SimplexId getEdgeTriangleNumber(const SimplexId &edgeId)
   const std::vector<std::vector<SimplexId> > *getEdgeTriangles()

10.得到某条边的顶点信息，在1D情况下，等价于getCellVertex().
      int getEdgeVertex(const SimplexId &edgeId, const int &localVertexId, SimplexId &vertexId) const

11.得到组成网络的单纯形的个数（3D: tetrahedra, 2D: triangles, 1D: edges)，如果二维标量场，就是三角形个数

inline SimplexId getNumberOfCells() const

12.得到边的个数（二维标量场，就是正儿八经的边的个数，特别的：In 1D, equivalent to getNumberOfCells().）

SimplexId getNumberOfEdges() const

13.得到三角形的个数（In 2D, equivalent to getNumberOfCells()，即二维标量场等价于getNumberOfCells()，因为2D的cell就是三角形）

SimplexId getNumberOfTriangles() const

14. 得到顶点个数

SimplexId getNumberOfVertices()

15.在等于或高于三维时，求取三角形的全部 ID信息

SimplexId getNumberOfTriangles() const

const std::vector<std::vector<SimplexId> > *getTriangles()

在2维时，等价于

inline SimplexId getNumberOfCells() const

16.得到第triangleId个三角形的第localEdgeId条边的全局ID信息

inline int getTriangleEdge(const SimplexId &triangleId, const int &localEdgeId, SimplexId &edgeId) const

SimplexId getTriangleEdgeNumber(const SimplexId &triangleId)

std::vector<std::vector<SimplexId> > *getTriangleEdges() // 得到三角形表信息，如 3 1 2 3； 3 2 3 4； 3 4 5 6； 3 5 6 7.。。

17.三维标量场函数：得到三角形链接的顶点信息（triangleLink只有在三维向量场中才有意义，二维不需要考虑直接报错！！！！）

inline int getTriangleLink(const SimplexId &triangleId, const int &localLinkId, SimplexId &linkId) const

SimplexId getTriangleLinkNumber(const SimplexId &triangleId)

const std::vector<std::vector<SimplexId> > *getTriangleLinks()

18，三维标量场函数（低于二维直接报错）：得到三角形每条边邻接的四面体ID

int getTriangleStar(const SimplexId &triangleId, const int &localStarId, SimplexId &starId) const

SimplexId getTriangleStarNumber(const SimplexId &triangleId) const

std::vector<std::vector<SimplexId> > *getTriangleStars()

19. 得到三角形顶点信息（二维情况下，等价于getCellVertex()函数）

int getTriangleVertex(const SimplexId &triangleId, const int &localVertexId, SimplexId &vertexId)

20.得到链接顶点的边信息（In 1D, this function is equivalent to getVertexStar().）

inline int getVertexEdge(const SimplexId &vertexId, const int &localEdgeId, SimplexId &edgeId) const

SimplexId getVertexEdgeNumber(const SimplexId &vertexId) const

const std::vector<std::vector<SimplexId> > *getVertexEdges()

22.得到顶点的链接元素（2维：边，三维：三角形）

int getVertexLink(const SimplexId &vertexId, const int &localLinkId, SimplexId &linkId) const
SimplexId getVertexLinkNumber(const SimplexId &vertexId)

const const std::vector<std::vector<SimplexId> > *getVertexLinks()

23.得到顶点的邻居顶点信息

 getVertexNeighbor(const SimplexId &vertexId, const int &localNeighborId, SimplexId &neighborId) const 
 SimplexId getVertexNeighborNumber(const SimplexId &vertexId) const
  const std::vector<std::vector<SimplexId> > *getVertexNeighbors()

24.得到一个顶点的邻居CELL ID (3D: tetrahedra, 2D: triangles, 1D: edges) - Get the \p localStarId-th cell of the star of the vertexId-th vertex.

inline int getVertexStar(const SimplexId &vertexId, const int &localStarId, SimplexId &starId) const
SimplexId getVertexStarNumber(const SimplexId &vertexId) const

const std::vector<std::vector<SimplexId> > *getVertexStars()

如果2维标量场：某个顶点紧靠着的某个三角形

如果3维标量场：某个顶点紧靠着的某个四面体

25.得到某个点仅靠这的三角形（V-T，2D时等价于： getVertexStar（））

inline int getVertexTriangle(const SimplexId &vertexId,const int &localTriangleId, SimplexId &triangleId) const
SimplexId getVertexTriangleNumber(const SimplexId &vertexId) const

const std::vector<std::vector<SimplexId> > *getVertexTriangles()

26。系列判断函数及预处理函数（很多拓扑求解都依赖于此）

bool isEdgeOnBoundary(const SimplexId &edgeId) const

bool isEmpty() const

bool isTriangleOnBoundary(const SimplexId &triangleId) const

bool isVertexOnBoundary(const SimplexId &vertexId) const

int preprocessBoundaryEdges() //一定要在前面调用，否则哪些判断函数不可用

int preprocessBoundaryVertices()

int preprocessCellNeighbors() //调后才能调用 /// - getCellNeighbor() /// - getCellNeighbors() /// - getCellNeighborNumber()

int preprocessCellTriangles() //调后才能调用 /// \sa getCellTriangle() /// \sa getCellTriangles() /// \sa getCellTriangleNumber()

int preprocessEdgeLinks() / int preprocessEdgeStars() / int preprocessEdgeTriangles() / int preprocessTriangles()

int preprocessTriangleEdges() /....