计算机算法设计与分析 ——（二）

贪心算法–带期限的单机调度问题

算法求解问题：

已知n项作业 E={1, 2, … ,n}要求使用同台机器完成，而且每项作业需要的时间都是1。第k项作业要求在时刻dk之前完成, 而且完成这项作业将获得效益pk，k=1, 2, … , n 。

现在我们要求解的是：
要在所给的作业集合中选出总效益值最大的相容子集。
（其中pk为算法的贪心标准）

算法思想：

proc GreedyJob(d, p, n) //带期限的单机作业安排算法
     //d[1..n]和p[1..n]分别代表各项作业的限期和效益值，
    //而且n项作业的排序满足：p1 >= p2 >= … >= pn   
    local  J;
    J:={1}; //初始化解集
    for i from 2 to n do       
      if  J 并上 {i} 中的作业是相容的   //检验规则：(放在后面解释)
       then  //对任一j ∈ J 并上 {i},作业期限≤d(j)的数量≤ d(j)个
        J:= J 并上 {i};   // 将i加入解中
      end{if}
    end{for}
   end{GreedyJob}    //贪心准则：尽量选取效益大的作业安排  （该算法关键在于检验规则）

算法实例：
7是问题最优解

算法证明：

假设贪心算法所选择的作业集J不是最优解，则一定有相容作
业集I，其产生更大的效益值。证 I=J。

也就是说现在有两个集合，分别是：
贪心集：J
最有集：I
因为假设贪心算法得到的不是最优，那么必定存在一个最优，如果证明J=I则算法得证。
如果J不等于I则有以下关系：

1.最优I 是  贪心J的子集，显然不成立，既然贪心得到了更大的集合且合理那I又怎么能称为最优
2.贪心J 是 最优I的子集，显然也不成立，因为这样违背了贪心规则
3.那么只有第三种情况就是两个集合各自存在对方没有的元素
   即至少存在两个作业a,b   其中a属于J，不属于I   ， b属于I，不属于J

此时对于a,pa>=I中所有的pb，因为如果将I和J从大到小排列后逐一比较，到a时与相应位置的b比较由于贪心算法，此时会选择大的，因为选择了a所以pa>=pb

设SJ和SI是J和I两个可行解的调度序列：

其中i是既属于J又属于I的一个作业，其调度时刻在两个集合中如图分别是[t,t+1]和[t’,t’+1]。
现在在两个调度表中做如下调整:

1.t<t’
将SJ中t‘时刻的作业和i相交换，如果存在则交换，如果不存在则直接将i移过去。
（新调度表依然可行，因为t‘时刻的作业提前完成肯定是可行的，而t时刻的i在最优解中在t’时刻执行是可行的所以在J中移动后依然可行）

2.t’<t
操作与上述类似，同样新的调度表依然可行

对J和I 中所有作业如此操作后，得到的新SJ和SI的共有作业将会在相同时间进行调度，而不相同的则如下：

此时将 I中的ta时刻作业如果替换成a，则对于I 来说，效益值并不会减少，且替换后仍然可执行。重复上述转换后，I其实也就已经替换成了J，且效益值不会减小，所以J其实就是等于I的。证毕

检验规则

好，现在回过头来再看一下前面说到的检验规则，也就是加入i后J是否仍然可行。
首先我们需要找到一个特定序列，该序列为按照作业期限的非降次序排列，设该序列为σ。
J是一个可行解，当且仅当J中的作业可以按照σ的次序而又不违反规则任何一个期限的情况来处理。
只有满足上述条件，加入i后的J才是可行的。