【51nod 1639】【概率与期望】绑鞋带

51nod 1639 绑鞋带

---

题目

有n根鞋带混在一起，现在重复n次以下操作：随机抽出两个鞋带头，把它们绑在一起。可以想象，这n次之后將不再有单独的鞋带头，n条鞋带系成了一些环。那么有多大概率刚好所有这些鞋带只形成了一个环？

输入
仅一行，包含一个整数n (2<=n<=1000)。
输出
输出一行，为刚好成环的概率。
输入样例

2

输出样例

0.666667

---

解题思路

一根鞋带两个头，n个鞋带有 2n 个鞋带头
设当前已经打了 i 个结了，那么表示有 2i 个鞋带头绑在一起了
剩余 2n - 2i 个鞋带头
在剩余鞋带头中随便选定一个鞋带头，没有限制，那么剩余鞋带头有 2n - 2i - 1

最后变成一个环，那最后一个打结是 刚刚选出的鞋带头 和 这个鞋带头所在的集合 的 一个鞋带头 绑在一起
其实就是最后两个鞋带头绑在一个
但是，显而易见，在之前的打结中一定不能和自己的集合打结

同样显而易见，选中的鞋带头所在的集合 也只会有两个头，一个已选，另一个不能选
那么能选的就只有 2n - 2i - 2 个鞋带头
概率为$\frac{2n-2i-2}{2n-2i-1}$，累乘即可

很快会发现这个公式实现上有问题，当 i = n - 1 时概率为0，所以不管怎么样最后概率都会变为0
当 i = n - 1 时只需要打最后一个结了，上面已经提到这种情况，最后只剩两个鞋头，如果保证前面一直是合法的，那么其实可以把问题转换为把鞋带绑成一条链。换言之，当前面都是合法时，绑最后一个结使鞋带变环是必然事件，概率为1

---

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define ldb long double

using namespace std;

int n;
ldb a, b, ans = 1.0;

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 1; i < n; i ++) { // 记得去掉最后一个结
		a = 2 * n - 2 * (i - 1) - 2;
		b = 2 * n - 2 * (i - 1) - 1;
		ans = ans * a / b;
	}
	cout << ans;
}