剑指offer 第8天 动态规划（简单）C++题解

一、斐波那契数列

剑指 Offer 10- I. 斐波那契数列https://leetcode.cn/problems/fei-bo-na-qi-shu-lie-lcof/

写一个函数，输入 n ，求斐波那契（Fibonacci）数列的第 n 项（即 F(N)）。斐波那契数列的定义如下：

F(0) = 0,   F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入：n = 2
输出：1

示例 2：

输入：n = 5
输出：5

提示：

0 <= n <= 100

解题思路：

1.循环迭代算出结果即可。

2.可用三变量缩减空间复杂度。

具体细节：

1.直接返回n=0和1的值。

2.循环计算f（n）的值并取模1e9+7。

3.返回结果。

复杂度分析：

1.时间复杂度：循环遍历N次，O（N）。

2.空间复杂度：常数个变量，O（1）。

代码实现：

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if (n == 0) return 0;
        if (n == 1) return 1;
        int a = 0, b = 1, z;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            z = (a + b) % 1000000007;
            a = b;
            b = z;
        }
        return z;
    }
};

二、青蛙跳台阶问题

剑指 Offer 10- II. 青蛙跳台阶问题https://leetcode.cn/problems/qing-wa-tiao-tai-jie-wen-ti-lcof/

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级台阶。求该青蛙跳上一个 n 级的台阶总共有多少种跳法。

答案需要取模 1e9+7（1000000007），如计算初始结果为：1000000008，请返回 1。

示例 1：

输入：n = 2
输出：2

示例 2：

输入：n = 7
输出：21

示例 3：

输入：n = 0
输出：1

提示：

0 <= n <= 100

解题思路：

1.青蛙跳上最后一个台阶共有两种情况：跳一级台阶时，剩n-1个台阶，共有f（n-1）种跳法；跳两级台阶时，剩n-2个台阶，共有f（n-2）种跳法。

2.所以青蛙跳上最后一个台阶共有f(n-1)+f(n-2)种跳法。

具体细节：

1.直接返回n=0和1的值。

2.循环计算f（n）的值并取模1e9+7。

3.返回结果。

复杂度分析：

1.时间复杂度：循环遍历N次，O（N）。

2.空间复杂度：常数个变量，O（1）。

代码实现：

class Solution {
public:
    int numWays(int n) {
        if (n == 0) return 1;
        if (n == 1) return 1;
        int a = 1, b = 1, z;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            z = (a + b) % 1000000007;
            a = b;
            b = z;
        }
        return z;
    }
};

三、股票的最大利润

剑指 Offer 63. 股票的最大利润https://leetcode.cn/problems/gu-piao-de-zui-da-li-run-lcof/

假设把某股票的价格按照时间先后顺序存储在数组中，请问买卖该股票一次可能获得的最大利润是多少？

示例 1:

输入: [7,1,5,3,6,4]
输出: 5
解释: 在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
     注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格。

示例 2:

输入: [7,6,4,3,1]
输出: 0
解释: 在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

限制：

0 <= 数组长度 <= 10^5

解题思路：

1.暴力解法，使用双指针i，j遍历买入和卖出，i从0 ~ n-1遍历，j从i + 1到n遍历计算每一种情况的利润，用max做记录。时间复杂度为O（N^2）。有更优的时间复杂度解法。

2.只遍历一次数组，统计当前情况下最低价格和最大利润，当遍历完数组后，就得到了最大利润。

具体细节：

1.初始化最低价格min为prices[0]，最大利润max为0。

2.遍历数组，若prices[i]小于min则更新min，同时计算prices[i] - min若大于max则更新max。

3.返回max。

复杂度分析：

1.时间复杂度：遍历一遍数组O（N）。

2.空间复杂度：常数个变量O（1）。

代码实现：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        if (n == 0) return 0;
        int min = prices[0], max = 0;
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            if (prices[i] < min) min = prices[i];
            if (prices[i] - min > max) max = prices[i] - min;
        }
        return max;
    }
};