【变分法】【书籍阅读笔记】Calculus of Variation by gelfand 第一章 总结与习题题解 【更新中】

前言

之前看 PRML 时碰到了 变分相关的问题，所以找了一本书特地来学习一下

1 第一章 变分法基础

1.1 泛函 与 一些简单的变分问题

该节引出泛函的定义 ，介绍一个基本的泛函问题 并且 沿用经典的微积分有限元分析，对泛函做出类似的分析

变化量（variable quantities）被称为 泛函,指的是 自变量本身是一个函数的函数

例如 $J[y]={\int }_a^b{y}^{\prime 2}(x)dx$ 定义了一个泛函

一个更加一般的情形是
$$J[y]={\int }_a^{b}F\left[x,y(x),y^{\prime }(x)\right]dx$$

涉及泛函概念的问题的特定实例在三百多年前就被考虑过了，事实上，这一领域的第一个重要结果要归功于欧拉(1707 - 1783)。然而，迄今为止，"函数微积分 "仍不具备可与经典分析方法（即普通的 “函数微积分”）相媲美的通用方法。

要理解变分问题和方法的基本含义 要理解变分微积分的问题和方法的基本含义，很重要的一点是要了解它们与经典微分析的关系，即与 n个变量函数的关系。 因此，考虑一个形式为
$$J[y]={\int }_a^{b}F\left(x,y,y^{\prime }\right)dx,y(a)=A,y(b)=B$$
的泛函。

沿用经典微积分理论，我们可以切分 $[a,b]$ 区间 进行求和
$$a=x_0,x_1,\dots ,x_n,x_{n+1}=b,$$
$$J\left(y_1,\dots ,y_n\right)=\sum _{i=1}^{n+1}F\left(x_i,y_i,\frac{y_i-y_{i-1}}{h}\right)h$$
where
$$y_i=y\left(x_i\right),h=x_i-x_{i-1}$$