小球与盒子的浪漫之旅

小球与盒子

• 计数类问题有时候会涉及到小球与盒子的经典模型，因此有了本文。
• 球相同/不同，盒子相同/不同，能/不能有空盒分成了多种不同问题。

前置科技

• 组合数：从n个物品（带编号）里选出m个物品的方案数：

  $$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$

• 排列数：从n个物品（带编号）里选出m个物品进行排列的方案数：

  $$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$$

• 圆排列：一个n个元素构成的集合，从中选m个元素构成一个环的方案数：

  $$Q_n^m=\frac{A_n^m}{m}$$（每个排列被重复计算m次）

• 第一类斯特林数：用n个元素组成m个环的方案数：

  $$s_n^m=s_{n-1}^{m-1}+(n-1)\ast s_{n-1}^m$$

• 第二类斯特林数：把大小为n的集合划分为m个非空集合的方案数：

  $$S_n^m=S_{n-1}^{m-1}+m\ast S_{n-1}^m$$

• 关于第一类、第二类斯特林数公式的证明，考虑递推证明。

1.球相同，盒子不同，不能有空盒

• 把n个小球分为了m份，考虑其实是在n-1个空隙中插m-1个板。

  $$ans=C_{n-1}^{m-1}$$

2.球相同，盒子不同，可以有空盒

• 强制给每个盒子放入一个小球，此时问题转化为问题1。

  $$ans=C_{n+m-1}^{m-1}$$

3.球不同，盒子不同，可以有空盒

• 考虑每一个小球都可以放在[1,m]任意一个盒子里，并且小球不同，所以互不影响。

  $$ans=m^n$$

4.球不同，盒子不同，不可以有空盒

• 考虑容斥。至少好求，恰好不好求，我们用二项式反演。$f[i]$表示至少有$i$个盒子为空盒的方案数，$ans[i]$为恰好有$i$个盒子为空盒的方案数：

  $$f[i]=C_m^i(m-i{)}^n,f[i]=\sum _{k=i}^n{C}_k^{i}ans[k]$$

  $$ans[i]=\sum _{k=i}^n(-1{)}^{k-i}{C}_k^{i}f[k]$$

  $$ans=ans[0]=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{C}_k^{i}f[k]=\sum _{k=0}^n(-1{)}^{k}f[k]$$

5.球不同，盒子相同，不能有空盒

• 相当于把大小为n的集合分成m个非空集合的方案数，其实就是第二类斯特林数：

  $$ans=S_n^m=S_{n-1}^{m-1}+m\ast S_{n-1}^m$$

• 不过这样递推是$O(n^2)$的。

• 其实就是第四个问题，但是盒子相同，除掉一个排列就好啦。$ans=\frac{an{s}_4}{m!}$

6.球不同，盒子相同，可以有空盒

• 有空盒，就把有几个空盒枚举出来，再累加一下第二类斯特林数：

  $$ans=\sum _{i=0}^{m}S[n][i]$$

• 其实这就叫$Bell$数。

• Bell数的定义：第n个Bell数表示集合[1,2,……,n]的划分方案数。

  $$B_n=\sum _{m=0}^{n}S[n][m]$$

7.球相同，盒子相同，可以有空盒

• 设$f[n][m]$表示n个求放到m个盒子里的方案数：

  $$if(n==0||m==1)f[n][m]=1$$

  $$if(n<m)f[n][m]=f[n][n]$$

  $$if(n>=m)f[n][m]=f[n-m][m]+f[n][m-1]$$(至少有一个空盒+没有空盒)

• 等价于自然数拆分问题。

8.球相同，盒子相同，不能有空盒

• 减去m个球之后，就变成了问题7：

  $$ans=f[n-m][m]$$

你以为结束了？不好意思，好戏刚开始。

盒子与小球二

• N个有差别的盒子（1<=N<=20）。你有A个红球和B个蓝球。0<=A<=15,0<=B<=15。球除了颜色没有任何区别。你可以将球放进盒子。一个盒子可以同时放进两种球，也可以只放一种，也可以空着。球不必全部放入盒子中。编程计算有多少种放置球的方法。

• A的放置和B的放置互不影响，我们可以单独统计再相乘。

• 枚举一个i，问题转化成把i个相同小球放到n个不同盒子里，可以有空盒的方案数：

  $$ansA=1+\sum _{i=1}^A{C}_{i+n-1}^{n-1}=C_{A+n}^n$$

• ansB同理。

  $$ans=ansA\ast ansB=C_{i+A}^n{C}_{i+B}^n$$

盒子与小球三

• 有n个相同的球，m个不同的盒子，每个盒子最多放t个球，请计算将这n个小球全部放入盒子中（可以有空盒）的方案数模1e6+7后的结果，n<=5e3,m<=5e3。

• 对限制进行容斥，恰好不好求，至少好求。

• $f[i]$表示至少有i个盒子放的小球大于t个的方案数

• $ans[i]$表示恰好有i个盒子放的小球大于t个的方案数

  $$f[i]=\sum _{k=i}^m{C}_k^{i}ans[k]$$

  反演得：$$ans[i]=\sum _{k=i}^m(-1{)}^{k-i}{C}_k^{i}f[k]$$

  $$f[i]=C_m^i{C}_{n-i(t+1)+m-1}^{m-1}$$

• 答案即为ans[0]:

  $$ans[0]=\sum _{i=0}^m(-1{)}^{i}f[i]$$

盒子与小球四

• 给定n个不同的小球，和m个不同的盒子，有多少种不同的放球方法，使得每个盒子里的小球数量不少于k。n,m,k<=15。

• $f[i][j]$表示前i个盒子放了j个球的方案数：

  $f[i][j]={\sum }_{l=k}^{j}f[i-1][j-l]\ast C_{n-(j-l)}^l$

终于完了，新成就达成(#^.#)。汤神天上第一！