11.2

    t1：给你一个数n，让你统计一下从1到n所有数与n的最大公约数都有哪些，分别有多少个。

    简单推一下样例，容易发现，除了互质的数以外，其他的与n的最大公约数一定是n的因子，个数应该是φ（n/gcd）。那么我们要做的应该是先把n的因数全部找出来，然后对每个因数质因数分解求φ。如果直接粗略的算复杂度，应该是sqrt（n）^2的。这样就是n了，但n是1e13啊！

    所以我们大致算一下对于一个数来说，它的因数能有多少个。对于一个数来说，它的因数个数应该是质因数分解之后，每个质因数的幂+1的乘积。我们如果想让一个数在某一个范围内，然后因数尽可能多的话，那么它的质因数的幂肯定是单调不增的。我上午考试的时候推了一下，2*3*5*7*11*13*17*19*23*29*31*37=66786643213290,是6e13的。它的因数个数也就是2^12个。不可能再比这个大了，因为2的幂次方增长是指数级的，不会为了前面增长个几然后把后面的那个2舍弃的。这个也就是4000，然后你每次质因数分解复杂度是sqrt（x），最大是3e6的样子，但肯定远小于这个值，所以足以通过此题。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e7+10;
ll n,a[maxn];
int m,p[maxn],num;
void put(ll x)
{
	if(x==0){putchar('0');return;}
	if(x==1){putchar('1');return;}
	if(x<0){putchar('-');x=-x;}
	int num=0;char ch[25];
	while(x) ch[++num]=x%10+'0',x/=10;
	while(num) putchar(ch[num--]);
	//putchar('\n');
}
int main(){
	freopen("gcd.in","r",stdin);
	freopen("gcd.out","w",stdout);
	scanf("%lld",&n);
	for(ll i=2;i*i<=n;++i){
		if(n%i==0){
			a[++num]=i;
			if(i*i!=n) a[++num]=n/i;
		}
	}
	sort(a+1,a+num+1);
	a[0]=1;
	for(int i=0;i<=num;i++){
		ll x=n/a[i];
		m=0;
		for(ll j=2;j*j<=x;++j){
			if(x%j==0) p[++m]=j;
			while(x%j==0) x/=j;
		}
		if(x>1) p[++m]=x;
		ll temp=n/a[i];
		for(int k=1;k<=m;k++) temp=temp*(p[k]-1)/p[k];
		//printf("%lld %lld\n",a[i],temp);
		put(a[i]),putchar(' '),put(temp),putchar('\n');
	}
	printf("%lld 1\n",n);
	return 0;
}

    t2：一个不太好像的递推吧。给你一个环，环上有n个点，然后任意k个连续点中你只能选一个点或者不选，求方案数。

    我一般比较怕这种题，每次看到之后，总感觉太多需要考虑的东西，好多情况需要考虑，然后怎么不会漏算，怎么不会重复计算。然后就会觉得应该是个组合数，容斥什么的，就不想写了。其实是把问题想复杂化了，就是一个递推。

    在k=2的时候递推很好想，直接设个状态，f[i][0]表示没使用i的方案数，f[i][1]表示使用了i的方案数。然后往下推，最后考虑一下环，所以我们依次假设第一个点使用和没使用，答案求和就好了。

    再推广到k<=1e5的情况。假如没有环，我们发现当前点i取或不取，只与i-k取或不取有关。如果当前点一定取，那么我们就是方案数加上之前递推到i-k的方案数，从1到i-k可以任意，不影响当前i。如果不取i，我们直接加上递推到i-1的方案数就行。所以我们仍然是定义两个数组，f【i】表示从1到i一定使用的i的方案数，g【i】表示从1到i的方案数，可以发现，g其实就是f的一个前缀和。但是环怎么处理呢？我们发现，从1到n-k+1这些点都是不受环的影响的，然后之后我们每次往后移动一个点，左端点其实就得向右移动一个点。这样的话，我们每移动一次，加上的方案数就是从左端点到右端点一定使用右端点的方案数，这样既枚举到了所有情况，也没有重复计算，因为当前新的点一定使用的情况下，一定和前面的不重复。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
const int mod=1e9+7;
int n,k,f[N],g[N];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&k);
	g[1]=f[1]=1;
	for(int i=2;i<=n-k+1;i++){
		g[i]=g[i-1];
		if(i-k>0) g[i]=(g[i]+g[i-k])%mod,f[i]=g[i-k];
		f[i]++;g[i]++;
		f[i]%=mod;g[i]%=mod;
	}
	for(int i=n-k+2;i<=n;i++) g[i]=(g[i-1]+f[n-k+1])%mod;
	printf("%d\n",g[n]);
	return 0;
}