10.12

一个组合数问题

问题描述：

给定一个$n$和$m$，通过寻找n个整数，使他们开根号之和等于$\sqrt{m}$。同种选取，不同排列属于不同答案。求方案数。

分析：

首先，一个整数开根号，只有两种情况。一个是直接等于整数，一个是等于一个整数乘上一个无理数。考虑一个整数$x=p_1^{c_1}{p}_2^{c_2}...p_n^{c_n}$，$p_i$均为质因子。我们把所有的$c_i$ $mod$ 2，那么$c_i$要不是1就是0.假如此时$x^{\prime }=p_1{p}_2..p_m,$ 那么$\sqrt{x^{\prime }}$一定是无理数。假如存在整数$x1,x2,\sqrt{x1}+\sqrt{x2}=\sqrt{x^{\prime }},$ 那么$p_1{p}_2...p_m=x1+x2+2\sqrt{x1x2}$ ，则$\sqrt{x1x2}$为整数。 那么只有两种可能，一是$x1,x2$均为平方数，二是$x1,x2$含有相同的，开根号为无理数的因子，那么$x1,x2$经化简仍然能表示为同一个无理数的整数倍。因此假设不成立，定理得证。
这样以后，就可以直接通过求组合数求解这道题了。