牛客练习赛因数个数和(分块或容斥)

最新推荐文章于 2024-11-07 21:17:23 发布

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本文介绍了两种计算因数个数的方法：分块算法和容斥原理。分块算法通过将数值范围划分成多个区间来简化计算过程；容斥原理则利用数学公式直接求解。这两种方法在解决特定类型的问题时非常有效。

题目链接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/158/A

1.分块

时间复杂度为O( $\sqrt{n}$ )

依次计算每个块的贡献1 ->R1，L2 -> R2, L3 -> R3, L4 -> R4, ......, Ln -> Rn

举例：

计算10的因数的个数：

第一块：1到1，每个数的贡献为10，总贡献为：10*(1-1+1)

第二块：2到2，每个数的贡献为5，总贡献为：5*(2-2+1)

第三块：3到3，每个数的贡献为3，总贡献为：3*(3-3+1)

第四块：4到5，每个数的贡献为2，总贡献为：2*(5-4+1)

第五块：6到10，每个数的贡献为1，总贡献为：1*(10-6+1)

即总的因数个数为：10*(1-1+1) + 5*(2-2+1) + 3*(3-3+1) + 2*(5-4+1) + 1*(10-6+1) = 27

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

int main()
{
    //freopen("DATA.c", "r", stdin);
    ll T,n;
    scanf("%lld", &T);
    while(T--){
        scanf("%lld", &n);
        ll l = 1, r;
        ll ans = 0;
        for( ; l <= n; l = r + 1){
            r = n/(n/l);
            ans += n/l * (r-l+1);
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }
}

2.容斥

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
    //freopen("DATA.c", "r", stdin);
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        int x; scanf("%d", &x);
        int nu = sqrt(x);
        ll ans = 0;
        for(int i = 1; i <= nu; i ++){
            ans += x/i;
        }
        ans = ans * 2 - nu * nu;
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}