字符串匹配——KMP算法（flag）史上最容易懂的KMP解析

flag史上最容易懂的KMP解析

如果要学习KMP的正确性请期待以后的博客

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KMP概述

KMP算法是由$Knuth/Morris/Pratt$三个人设计的线性字符串匹配算法。
这个算法用到了一个函数“前缀函数”，这里称作$\pi(i)$。

下面我们看几个概念

文本T：是要查询的目标文章，长度记作$T.len$

模式P：是你的字典词，长度记作$P.len$
也就是我们要在文本里面找模式出现的次数和位置。

P[1..10]代表模式P第一个位置到第十个位置的字符串。

偏移s，如果我们正在比较$T[s+1..s+P.len]$和$P$，那么第一个字符在$文本T$中的位置的前一个位置就是偏移s。可见，如果$s=0$，那么我们正在比较$T[1..P.len]$和$P$。

前缀：对于一个字符串，从第一个字符开始的，所有的子串（本身除外）。
例如，对于“abcde”，它的前缀有”a”,”ab”,”abc”,”abcd”。
请注意，”abcde”不算是它的前缀。

后缀：参照前缀的概念，后缀是：对于一个字符串，以最后一个字符结尾的，所有的子串（本身除外）。
例如，对于”abcde”，它的后缀有”e”,”de”,”cde”,”bcde”。
请注意，”abcde”不算是它的后缀。

前缀函数:见下：

前缀函数

这里前缀函数我们记作$\pi(i)$。这个函数是针对模式$P$的。对于串$P[1..i]$（P的一个从P[1]开始的子串），设它前缀集合为$A$，设它的后缀集合是$B$，那么$\pi(i)$就是$A\cap B$中长度最长的字符串的长度。
例如：有一个字符串为$"ababaca"$
当$i=5$的时候，$P[1..5]=$$"ababa"$
它的前缀集合：

$$A=\{"a","ab","aba","abab"\}$$
它的后缀集合：
$$B=\{"a","ba","aba","baba"\}$$
所以，
$$A\cap B=\{"ab","aba"'\}$$
我们可以发现在$A\cap B$中，长度最长的字符串是$aba$，长度为$3$，所以$\pi(5)=3$。
我们可以预处理这个模式的前缀函数：

前缀函数的功能

我们回顾朴素字符串匹配法，我们要枚举所有的偏移$s$，然后在每个偏移都花上$O(P.len)$的时间去枚举匹配。总时间复杂度是$O(P.len*T.len)$

前缀函数的用法

如果我们在考虑一个偏移$s$的时候，前$k$个字符匹配，但是第$k+1$个字符不匹配，我们直接跳到偏移$s'=s+\pi (k)$继续匹配。

这样跳偏移的作用

这样跳偏移，可以省略中间很多没有可能匹配到的偏移。很显然，我们跳到的偏移肯定是最有可能匹配的偏移。

这样跳的正确性

等待后续博客……

前缀函数的预处理

见下。我们先讲怎么匹配字符串。

字符串匹配

如果我们在考虑一个偏移$s$的时候，前$k$个字符匹配，但是第$k+1$个字符不匹配，我们直接跳到偏移$s'=s+\pi (k)$继续匹配。
下面给出图解：
如果我们在处理偏移$s=4$的时候，匹配了5个字符，第6个字符不匹配：

我们取偏移$s'=s+\pi(5)=4+3=7$

已经匹配的字符个数为$\pi(5)=3$个字符。

code

const int maxn=1000020;
char T[maxn],P[maxn];//两个字符串
int T_len,P_len;//两个字符串的长度
int pai[maxn];//pi函数
int ans=0;//P在T中出现的个数
void KMP()
{
    int q=0;//q记录了有几个字符一起匹配
    for(int i=1;i<=T_len;i++)//枚举呗
    {
        while(q>0&&P[q+1]!=T[i])//如果不匹配，那就默认pai[q]个字符已经
            q=pai[q];
        if(P[q+1]==T[i])//如果匹配，那就已经匹配的字符个数+1
            q++;
        if(q==P_len)
            ans++,q=pai[q];
    //如果已经匹配的个数跟模式的长度相同，那么就已经匹配成功
    }
}

预处理$\pi$前缀函数

其实预处理$\pi$前缀函数的过程，就是模式串自我匹配的过程。

code

自己理解吧！

int pai[maxn];
void get_p()
{
    pai[0]=0;
    int k=0;
    for(int q=2;q<=P_len;q++)
    {
        while(k>0&&P[k+1]!=P[q])
            k=pai[k];
        if(P[k+1]==P[q])
            k++;
        pai[q]=k;
    }
}

时间复杂度分析

我们先看字符串匹配的过程。
在最坏的情况下，

while(q>0&&P[q+1]!=T[i])
//如果不匹配，那就默认pai[q]个字符已经匹配
            q=pai[q];

这些while语句中，我们可以证明，总共执行次数$\leq T.len$.所以，字符串匹配过程的时间复杂度为$O(T.len)$
同上，预处理时间复杂度为$O(P.len)$.