线段树+贪心——F-排列计算

题目来源

牛客网 “科大讯飞杯”第十七届同济大学程序设计预选赛暨高校网络友谊赛 F-排列计算
https://ac.nowcoder.com/acm/contest/5477/F

题目描述

天才程序员菜哭武和石头组队参加一个叫做国际排列计算竞赛 (International Competition of Permutation Calculation, ICPC) 的比赛，这个比赛的规则是这样的：
一个选手给出一个长度为 n 的排列，另一个选手给出 m 个询问，每次询问是一个形如 (l, r) 的数对，查询队友给出的排列中第 l 个数到第 r 个数的和，并将查询到的这个区间和加入总分，最后总分最高的队伍就能获胜。
石头手速很快，在比赛一开始就给出了 m 个询问；菜哭武也很强，他总是能找到最合适的排列，使得他们队的总分尽可能高。
在看比赛直播的你看到了石头给出的 m 个询问，聪明的你能不能预测出他们队伍最终的得分呢？
一个排列是一个长度为 n 的数列，其中 1 ~ n 中的每个数都在数列中恰好出现一次。比如 [1, 3, 2] 是一个排列，而 [2, 1, 4] 和 [1, 2, 3, 3] 不是排列。

输入描述:

第一行输入两个数 n (1≤n≤2×105) 和 m (1≤m≤2×105) 。
接下来 m 行，每行输入两个数 l 和 r ，代表这次查询排列中第 l 个到第 r 个的和。

输出描述:

输出一个整数，代表他们队伍总分的最大值。

样例

输入

7 3
1 3
3 7
5 6

输出

46

说明

一个符合条件的排列是 [1,3, 6, 4, 7, 5, 2]，于是最终的得分为 (1 + 3 + 6) + (6 + 4 + 7 + 5 + 2) + (7 + 5) = 46。

思路

假设排列中第i个数为 $x[i]$，则每次询问区间（l，r）后总分增加$$\sum _{x=l}^{r}x[i]$$
记 $x[i]$ 总共被询问的次数为 $wei[i]$，这样总分就可以转化为$$\sum _{x=1}^{n}x[i]\ast wei[i]$$
目标排列唯一的限制条件是“其中1~n中的每个数都在数列中恰好出现一次”，即 $x[i]$ 在[1,n]范围内且各不相同。显而易见这时我们应该采用贪心的原则，即使被询问次数 $wei[x]$ 更多的数有更大的 $x[i]$ 值（证明 即 排序不等式）。
所以我们要做的就是记录第i个数 $x[i]$ 总共被询问的次数 $wei[i]$。题目进行的操作主要是区间修改，所以我们可以采用线段树结构进行操作（其他做法比如前缀和什么的应该也可以，但是我写线段树比较顺手hhh）。

代码（C++)

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,m,l,r,wei[200010]; long long ans=0;
struct tree{int ask,ll,rr; tree *l,*r;}*root,*null;  //root：根节点；null：空节点。
//ask：区间加和信息；ll：区间起始；rr：区间结尾。
tree *build(int st,int ed);  //建树
void check(tree *pos,int val);  //将区间信息推至叶节点
void add(tree *pos,int st,int ed);  //添加区间信息
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	root=build(1,n); //建树，区间加和信息均初始化为零
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d",&l,&r);
		add(root,l,r);
	}
	check(root,0);  //将区间信息推至叶节点，用wei[i]数组记录位置i被询问的次数
	sort(wei+1,wei+n+1);//贪心，使被询问次数越多的位置所对应的1~n排列数值越大
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ans+=(long long)wei[i]*i;  //求最终答案
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}
void check(tree *pos,int val)
{
	if(pos->ll==pos->rr) //所在节点是叶节点
	{
		wei[pos->ll]=pos->ask+val;
		return ;
	}
	//所在节点不是叶节点
	check(pos->l,val+pos->ask);
	check(pos->r,val+pos->ask);
}
void add(tree *pos,int st,int ed)
{
	if(pos->ll==st&&pos->rr==ed)
	{
		pos->ask+=1;
		return ;
	}
	if(ed<=pos->l->rr)
		add(pos->l,st,ed);
	else if(st>=pos->r->ll)
		add(pos->r,st,ed);
	else
	{
		add(pos->l,st,pos->l->rr);
		add(pos->r,pos->r->ll,ed);
	}
	return ;
}
tree *build(int st,int ed)
{
	
	tree *pos=new tree();
	pos->ask=0;
	pos->ll=st;
	pos->rr=ed;
	if(st==ed)
		pos->l=null,
		pos->r=null;
	else
		pos->l=build(st,(st+ed)/2),
		pos->r=build((st+ed)/2+1,ed);
	return pos;
}