树到二叉树的转换、二叉树的深层特性

本文介绍了树结构的不同表示方法,重点讲解了孩子兄弟表示法,并探讨了如何通过此方法将通用树转换为二叉树。此外,还详细解析了二叉树的基本概念、特殊类型及其深层特性。

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上节实现了复杂的通用树结构,通用树结构中的每个结点都可以有任意多的孩子,都可以有无限形态,

工程中很少使用这么复杂的树,这节理论介绍另一种树结构模型 

目录

1、树到二叉树的转换 

2、 二叉树的深层特性


1、树到二叉树的转换 

通用树结构回顾 

      -双亲孩子表示法 

              ● 每个结点都有一个指向其双亲的指针 

              ● 每个结点都有若干个指向其孩子的指针 

        

另一种树结构模型 

      -孩子兄弟表示法 

                    每个结点都有一个指向其第一个孩子的指针 

                    每个结点都有一个指向其第一个右兄弟的指针

        

孩子兄弟表示法的特点 

           1. 能够表示任意的树形结构 

           2. 每个结点包含一个数据成员和两个指针成员 

           3. 孩子结点指针和兄弟结点指针构成了“树杈” 

二叉树的定义 

      -二叉树是由 n(n ≥ 0) 个结点组成的有限集合,该集合或者为空,或者是由一个

          根结点加上两棵分别称为左子树右子树的、互不相交的二叉树组成。 

     

 

二叉树的5种形态 

    

特殊的二叉树 

  -满二叉树(Full Binary Tree) 

       ● 如果二叉树中所有分支结点的度数都为2, 且叶子结点都在同一层次上,则称这类二叉树为满二叉树。 

  -完全二叉树(Complete Binary Tree) 

       ● 如果一棵具有n个结点的高度为k的二叉树,它的每一个结点都与高度为k的满二叉树

          编号为1 ~ n的结点一一对应, 则称这棵二叉树为完全二叉树。 (从上到下从左到右编号)

完全二叉树的特性 

  -同样结点数的二叉树,完全二叉树的高度最小 

  -完全二叉树的叶结点仅出现在最下面两层 

       ● 最底层的叶结点一定出现在左边 

       ● 倒数第二层的叶结点一定出现在右边 

       ● 完全二叉树中度为1的结点只有左孩子

                

         满二叉树是完全二叉树,反过来看完全二叉树是还未形成的满二叉树

小结 

  -通用树结构采用了双亲结点表示法进行描述 

  -孩子兄弟表示法有能力描述任意类型的树结构 

  -孩子兄弟表示法能够将通用树转化为二叉树 

  -二叉树是最多只有两个孩子的树 


2、 二叉树的深层特性

性质1

       ● 在二叉树的第 i 层最多有 \LARGE {\color{Red} ^{2^{i - 1}}} 个结点 (i ≥ 1) 

          第一层最多有 \large {\color{Red} ^{2^{1 - 1} = 1}} 个结点 

          第二层最多有 \large {\color{Red} ^{2^{2 - 1} = 2}} 个结点 

          第三层最多有 \large {\color{Red} ^{2^{3 - 1} = 4}} 个结点 

          ......

                    

性质2 

       ● 高度为 k 的二叉树最多有 \LARGE {\color{Red} ^{2^{k} - 1}}个结点 (k ≥ 0) 

          如果有一层,最多有 {\color{Cyan} 1 = } {\color{Red} {\ 2^{1} - 1 = 1}} 个结点 

          如果有两层,最多有 {\color{Cyan} 1 + 2 = } {\color{Red} {\ 2^{2} - 1 = 3}} 个结点 

          如果有三层,最多有 {\color{Cyan} 1 + 2 + 4 = } {\color{Red} {\ 2^{3} - 1 = 7}} 个结点 

          ......

性质3 

       ● 对任何一棵二叉树,如果其叶结点有 \large {\color{Red} n_0{}} 个,度为 2 的非叶结点有 \large {\color{Red} n_2{}}  个,则有 \large {\color{Red} n_0{} = n_2{} + 1 }

          证明:假设二叉树中度1的结点有 \large {\color{Red} n_1{}} 个且总结点为 n 个,则:\large {\color{Red} n = n_0{} + n_1{} + n_2{} }

                     假设二叉树中连接父结点与子结点间的为 条,则: \large {\color{Red} e = n_1{} + 2n_2{} = n-1 }

                     所以: \large {\color{Red} n_0{} = n_2{} + 1 }

 

性质4 

       ● 具有n个结点的完全二叉树的高度为 {\color{Red} \left \lfloor \log _2{} n \right \rfloor + 1 }  (⌊X⌋表示不大于X的最大整数) 

           证明:假设这n个结点组成的完全二叉树高度为k 、则: {\color{Red} 2^{k - 1} - 1< n \leq 2^{k} - 1 }

           因为n为整数,所以: {\color{Red} 2^{k - 1} \leq n < 2^{k} }

           取对数: {\color{Red} k -1 \leq \log _2{} n < k}

           因为k为整数,所以: {\color{Red} k = \left \lfloor \log _2{} n \right \rfloor + 1 }

          

性质5 (完全二叉树特有,普通二叉树不具备)

       ● 一棵有 n 个结点的完全二叉树(高度为{\color{Red} \left \lfloor \log _2{} n \right \rfloor + 1 }) ,按层次对结点进行编号(从上到下,从左到右),

          对任意结点 i 有: 

                   如果 i = 1, 则结点 i 是二叉树的根 

                   如果 i > 1 则其双亲结点为 ⌊i / 2⌋ 

                   如果 2i ≤ n , 则结点 i 的左孩子为 2i 

                   如果 2i > n , 则结点 i 无左孩子 

                   如果 2i +1 ≤ n , 则结点i的右孩子为 2i + 1

                   如果 2i +1 > n , 则结点 i 无右孩子 

                    

 

 

<think>好的,我现在需要帮助用户解决如何使用Python的matplotlib绘制二叉树的问题。首先,我需要整理用户提供的引用内容,看看里面有哪些有用的信息。 用户提供的引用中提到,可以使用matplotlib和networkx库来绘制形图。引用[3]提到了一个create_graph函数,可能涉及递归创建节点和边的位置。引用[4]讨论了计算节点的x坐标偏移量,这可能涉及到如何确定每个节点在图中的位置,避免重叠。引用[2]和[1]则说明matplotlib的注解功能可以用来绘制形图,可能需要用到文本标注和连接线。 接下来,我需要考虑用户的需求。用户可能希望有一个简单的示例代码,能够输入二叉树的结构,然后可视化出来。常见的二叉树结构可以用字典或节点类来表示,比如每个节点有左孩子和右孩子。 根据引用[3]和[4],可能需要使用networkx来创建图结构,然后计算每个节点的位置,最后用matplotlib绘制。不过networkx可能更适合一般的结构,而二叉树的特定布局可能需要手动计算位置。例如,每个左子节点的x坐标是父节点x减去某个偏移量,右子节点则是加上偏移量,而y坐标逐层递减,这样形成层次结构。 然后,我需要确保代码正确。比如,递归函数create_graph需要正确地为每个节点分配坐标,并建立边。可能需要根据的深度调整y轴的间隔,x轴的偏移量可能需要根据层数来调整,比如每层的偏移量减半,这样避免节点之间的重叠。 此外,引用[4]提到了偏移量的计算,可能需要从底部开始,每个父节点的偏移量是子节点的两倍。例如,根节点的x偏移量是1,下一层左右子节点的偏移量是0.5,再下一层是0.25,依此类推。这样可以保证同一层的节点间距合适,不会重叠。 然后,代码的结构大致是:构建二叉树的数据结构,计算每个节点的位置,使用networkx或直接使用matplotlib绘制节点和边。可能还需要处理节点的文本标签,确保显示在正确的位置。 考虑到用户希望用matplotlib,可能需要直接使用它的绘图功能,而不是依赖networkx。例如,使用plot函数绘制线条表示边,用text函数添加节点标签。不过这样可能需要更复杂的坐标计算。 另一个方法是使用networkx的布局,但需要将二叉树转换为networkx的图结构,然后使用networkx.draw函数。不过标准的布局可能不符合二叉树的结构,特别是左右子节点的位置可能需要调整。 综合引用中的信息,可能采用递归计算每个节点的位置,然后用matplotlib的annotate函数绘制连接线和节点。例如,根节点在(0,0),左子节点在(-1,-1),右子节点在(1,-1),依此类推。但这种方法可能在深层时导致节点过于密集。 可能需要根据的深度动态调整x和y的间隔。比如,y方向每层减少1,x方向的偏移量根据当前层数计算,例如每个节点的x坐标为父节点x ± 2^(depth - current_layer),这样每层的节点间距逐渐缩小。 现在需要将上述思路转化为具体的代码。首先定义二叉树的结构,可能使用类或字典。例如,每个节点包含值、左孩子和右孩子。然后编写递归函数,遍历二叉树,计算每个节点的坐标。最后用matplotlib绘制节点和边。 可能还需要处理节点的位置存储,可以用字典保存每个节点的坐标。递归函数从根节点开始,每个左子节点向左下方移动,右子节点向右下方移动,偏移量随着层数增加而减少。 例如,根节点在(0,0),左子节点在(-1,-1),右子节点在(1,-1)。然后左子节点的左子节点在(-1.5, -2),右子节点在(-0.5, -2),依此类推。这样每层的偏移量是上一层的一半。 在代码中,可能需要先计算整个的深度,以确定每层的偏移量。或者动态调整,每次递归时传递当前的偏移量。 根据引用[3]中的代码示例,create_graph函数可能接受图对象、当前节点、父节点名称、位置字典、当前x和y坐标以及层数。然后递归地创建左右子节点,并计算它们的x坐标,如左子节点x = x - 1 / (2 ** layer),右子节点x = x + 1 / (2 ** layer),y坐标递减。 之后,将节点添加到图中,并创建边。最后使用networkx的布局和matplotlib进行绘制。 不过用户可能希望不依赖networkx,直接使用matplotlib。因此,可能需要手动绘制每个节点和边。例如,用plt.text放置节点值,用plt.plot绘制连接线。 综上,可能的步骤是: 1. 定义二叉树结构,例如使用字典或节点类。 2. 递归计算每个节点的坐标,左子节点在父节点左侧下方,右子节点在右侧下方,偏移量随层数减少。 3. 使用matplotlib绘制节点文本和连接线。 现在需要测试这些步骤是否可行,并编写示例代码。 例如,定义节点结构: tree = { 'value': 'A', 'left': { 'value': 'B', 'left': {'value': 'D'}, 'right': {'value': 'E'} }, 'right': { 'value': 'C', 'left': {'value': 'F'} } } 然后编写递归函数计算位置: def plot_node(node, x, y, dx, dy, ax): if node is None: return ax.text(x, y, node['value'], ha='center', va='center', bbox=dict(facecolor='white', edgecolor='black', boxstyle='circle')) if 'left' in node: left_x = x - dx left_y = y - dy ax.plot([x, left_x], [y, left_y], 'k-') plot_node(node['left'], left_x, left_y, dx/2, dy, ax) if 'right' in node: right_x = x + dx right_y = y - dy ax.plot([x, right_x], [y, right_y], 'k-') plot_node(node['right'], right_x, right_y, dx/2, dy, ax) 然后调用这个函数,初始dx和dy设置为适当值,如dx=2,dy=1,根节点在(0, 0)。 这可能是一个可行的方法,但需要调整dx和dy的值,以确保图形不会重叠,且层次清晰。 在测试过程中,可能发现需要根据的深度调整dx的初始值,避免节点之间过于拥挤或分散。例如,的深度为h,则初始dx可以设为2^(h-1),这样每层的dx减半,使得最底层的节点间距合适。 因此,可能需要先计算的深度,再确定初始dx。或者手动调整参数。 综上,示例代码可能如下: import matplotlib.pyplot as plt def get_depth(node): if not node: return 0 left_depth = get_depth(node.get('left')) right_depth = get_depth(node.get('right')) return max(left_depth, right_depth) + 1 def plot_tree(node, x, y, dx, dy, ax): if not node: return ax.text(x, y, node['value'], ha='center', va='center', bbox=dict(facecolor='white', edgecolor='black', boxstyle='circle')) if 'left' in node and node['left']: ax.plot([x, x - dx], [y, y - dy], 'k-') plot_tree(node['left'], x - dx, y - dy, dx/2, dy, ax) if 'right' in node and node['right']: ax.plot([x, x + dx], [y, y - dy], 'k-') plot_tree(node['right'], x + dx, y - dy, dx/2, dy, ax) # 示例结构 tree = { 'value': 'A', 'left': { 'value': 'B', 'left': {'value': 'D'}, 'right': {'value': 'E'} }, 'right': { 'value': 'C', 'left': {'value': 'F'}, 'right': {'value': 'G'} } } depth = get_depth(tree) initial_dx = 2 ** (depth - 1) initial_dy = 1 fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8)) ax.axis('off') plot_tree(tree, 0, 0, initial_dx, initial_dy, ax) plt.show() 这应该可以绘制一个简单的二叉树。但可能需要调整参数,如initial_dx和initial_dy,或者使用不同的布局方法。 另外,用户提供的引用[3]中的代码使用了networkx,可能也是一个有效的方法,比如: import networkx as nx import matplotlib.pyplot as plt def create_positions(node, pos, x=0, y=0, layer=1): if node is None: return pos[node['value']] = (x, y) if 'left' in node: create_positions(node['left'], pos, x - 1/(2**layer), y-1, layer+1) if 'right' in node: create_positions(node['right'], pos, x + 1/(2**layer), y-1, layer+1) G = nx.Graph() pos = {} create_positions(tree, pos) # 构建图的边 def build_edges(node, G): if not node: return if 'left' in node and node['left']: G.add_edge(node['value'], node['left']['value']) build_edges(node['left'], G) if 'right' in node and node['right']: G.add_edge(node['value'], node['right']['value']) build_edges(node['right'], G) build_edges(tree, G) nx.draw(G, pos, with_labels=True, node_size=1000, node_color='white', edge_color='black', font_size=10, arrows=False) plt.show() 这种方法利用networkx自动处理边的绘制,但需要正确计算每个节点的位置,这可能更简单。不过用户可能更倾向于直接使用matplotlib,或者需要更自定义的节点形状。 综上,我需要给出两种方法:一种是使用纯matplotlib递归绘制,另一种是结合networkx。用户提供的引用中提到了这两种方法,所以示例代码可以包括这两种方式,并根据引用进行标注。 另外,需要确保代码中的注释和步骤解释清晰,帮助用户理解每一步的作用。比如,计算位置、递归绘制节点和边等。 最后,生成相关问题,可能涉及如何调整布局、处理大型、添加颜色或样式等。</think>以下是使用Python的matplotlib绘制二叉树的实现方法: ### 方法一:纯Matplotlib实现 ```python import matplotlib.pyplot as plt def plot_tree(node, x, y, dx, dy, ax): """递归绘制二叉树""" if not node: return # 绘制当前节点 ax.text(x, y, node['value'], ha='center', va='center', bbox=dict(facecolor='white', edgecolor='black', boxstyle='circle')) # 绘制左子连接线并递归 if 'left' in node and node['left']: ax.plot([x, x-dx], [y, y-dy], 'k-') # 绘制连接线 plot_tree(node['left'], x-dx, y-dy, dx/2, dy, ax) # 绘制右子连接线并递归 if 'right' in node and node['right']: ax.plot([x, x+dx], [y, y-dy], 'k-') # 绘制连接线 plot_tree(node['right'], x+dx, y-dy, dx/2, dy, ax) # 示例结构 tree = { 'value': 'A', 'left': {'value': 'B', 'left': {'value': 'D'}, 'right': {'value': 'E'}}, 'right': {'value': 'C', 'left': {'value': 'F'}, 'right': {'value': 'G'}} } fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6)) ax.axis('off') plot_tree(tree, 0, 0, 2, 1, ax) # 初始参数设置 plt.show() ``` ### 方法二:Matplotlib+Networkx实现 ```python import networkx as nx import matplotlib.pyplot as plt def create_positions(node, pos, x=0, y=0, layer=1): """递归计算节点位置""" if not node: return pos[node['value']] = (x, y) offset = 1/(2**layer) # 偏移量计算[^4] if 'left' in node: create_positions(node['left'], pos, x-offset, y-1, layer+1) if 'right' in node: create_positions(node['right'], pos, x+offset, y-1, layer+1) # 构建结构 G = nx.Graph() pos = {} create_positions(tree, pos) # 添加边 def add_edges(node): if not node: return if 'left' in node and node['left']: G.add_edge(node['value'], node['left']['value']) add_edges(node['left']) if 'right' in node and node['right']: G.add_edge(node['value'], node['right']['value']) add_edges(node['right']) add_edges(tree) # 绘制图形 nx.draw(G, pos, with_labels=True, node_size=1000, node_color='white', edge_color='black', font_size=10, arrows=False) plt.show() ``` **实现原理说明**: 1. **位置计算**:采用递归算法确定每个节点的坐标,左子节点位于父节点左下方,右子节点位于右下方,偏移量随层级指数衰减[^4] 2. **图形绘制**:使用Matplotlib的`text`和`plot`函数直接绘制节点和连接线,或借助Networkx的图形绘制功能 3. **布局优化**:通过调整初始偏移量参数可以控制的展开程度,`dx`参数控制横向间距,`dy`控制纵向间距[^3]
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