树到二叉树的转换、二叉树的深层特性

最新推荐文章于 2022-01-22 17:39:33 发布

洋葱汪

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分类专栏：数据结构实战开发【笔记】

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本文介绍了树结构的不同表示方法，重点讲解了孩子兄弟表示法，并探讨了如何通过此方法将通用树转换为二叉树。此外，还详细解析了二叉树的基本概念、特殊类型及其深层特性。

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上节实现了复杂的通用树结构，通用树结构中的每个结点都可以有任意多的孩子，都可以有无限形态，

工程中很少使用这么复杂的树，这节理论介绍另一种树结构模型

目录

1、树到二叉树的转换

2、二叉树的深层特性

1、树到二叉树的转换

通用树结构回顾

－双亲孩子表示法

● 每个结点都有一个指向其双亲的指针

● 每个结点都有若干个指向其孩子的指针

另一种树结构模型

－孩子兄弟表示法

每个结点都有一个指向其第一个孩子的指针

每个结点都有一个指向其第一个右兄弟的指针

孩子兄弟表示法的特点

1. 能够表示任意的树形结构

2. 每个结点包含一个数据成员和两个指针成员

3. 孩子结点指针和兄弟结点指针构成了“树杈”

二叉树的定义

－二叉树是由 n(n ≥ 0) 个结点组成的有限集合，该集合或者为空，或者是由一个

根结点加上两棵分别称为左子树和右子树的、互不相交的二叉树组成。

二叉树的5种形态

特殊的二叉树

－满二叉树(Full Binary Tree)

● 如果二叉树中所有分支结点的度数都为2, 且叶子结点都在同一层次上，则称这类二叉树为满二叉树。

－完全二叉树(Complete Binary Tree)

● 如果一棵具有n个结点的高度为k的二叉树，它的每一个结点都与高度为k的满二叉树中

编号为1 ~ n的结点一一对应，则称这棵二叉树为完全二叉树。（从上到下从左到右编号）

完全二叉树的特性

－同样结点数的二叉树，完全二叉树的高度最小

－完全二叉树的叶结点仅出现在最下面两层

● 最底层的叶结点一定出现在左边

● 倒数第二层的叶结点一定出现在右边

● 完全二叉树中度为1的结点只有左孩子

满二叉树是完全二叉树，反过来看完全二叉树是还未形成的满二叉树

小结

－通用树结构采用了双亲结点表示法进行描述

－孩子兄弟表示法有能力描述任意类型的树结构

－孩子兄弟表示法能够将通用树转化为二叉树

－二叉树是最多只有两个孩子的树

2、二叉树的深层特性

性质1

● 在二叉树的第 i 层最多有 $\LARGE {\color{Red} ^{2^{i - 1}}}$ 个结点 (i ≥ 1)

☛ 第一层最多有 $\large {\color{Red} ^{2^{1 - 1} = 1}}$ 个结点

☛ 第二层最多有 $\large {\color{Red} ^{2^{2 - 1} = 2}}$ 个结点

☛ 第三层最多有 $\large {\color{Red} ^{2^{3 - 1} = 4}}$ 个结点

☛ ......

性质2

● 高度为 k 的二叉树最多有 $\LARGE {\color{Red} ^{2^{k} - 1}}$ 个结点 (k ≥ 0)

☛ 如果有一层，最多有 ${\color{Cyan} 1 = } {\color{Red} {\ 2^{1} - 1 = 1}}$ 个结点

☛ 如果有两层，最多有 ${\color{Cyan} 1 + 2 = } {\color{Red} {\ 2^{2} - 1 = 3}}$ 个结点

☛ 如果有三层，最多有 ${\color{Cyan} 1 + 2 + 4 = } {\color{Red} {\ 2^{3} - 1 = 7}}$ 个结点

☛ ......

性质3

● 对任何一棵二叉树，如果其叶结点有 $\large {\color{Red} n_0{}}$ 个，度为 2 的非叶结点有 $\large {\color{Red} n_2{}}$ 个，则有 $\large {\color{Red} n_0{} = n_2{} + 1 }$

证明：假设二叉树中度1的结点有 $\large {\color{Red} n_1{}}$ 个且总结点为 n 个，则： $\large {\color{Red} n = n_0{} + n_1{} + n_2{} }$

假设二叉树中连接父结点与子结点间的边为 e 条，则： $\large {\color{Red} e = n_1{} + 2n_2{} = n-1 }$

所以： $\large {\color{Red} n_0{} = n_2{} + 1 }$

性质4

● 具有n个结点的完全二叉树的高度为 ${\color{Red} \left \lfloor \log _2{} n \right \rfloor + 1 }$ (⌊X⌋表示不大于X的最大整数）

证明：假设这n个结点组成的完全二叉树高度为k 、则： ${\color{Red} 2^{k - 1} - 1< n \leq 2^{k} - 1 }$

因为n为整数，所以： ${\color{Red} 2^{k - 1} \leq n < 2^{k} }$

取对数： ${\color{Red} k -1 \leq \log _2{} n < k}$

因为k为整数，所以： ${\color{Red} k = \left \lfloor \log _2{} n \right \rfloor + 1 }$

性质5 （完全二叉树特有，普通二叉树不具备）

● 一棵有 n 个结点的完全二叉树（高度为 ${\color{Red} \left \lfloor \log _2{} n \right \rfloor + 1 }$ ) ，按层次对结点进行编号（从上到下，从左到右），

对任意结点 i 有：

☛ 如果 i = 1, 则结点 i 是二叉树的根

☛ 如果 i > 1 则其双亲结点为 ⌊i / 2⌋

☛ 如果 2i ≤ n , 则结点 i 的左孩子为 2i

☛ 如果 2i > n , 则结点 i 无左孩子

☛ 如果 2i +1 ≤ n , 则结点i的右孩子为 2i + 1

☛ 如果 2i +1 > n , 则结点 i 无右孩子

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