从控制系统的极点谈起——复数的旋转作用

之前我们对拉普拉斯变换之后的这个s，包括z变换，其实都有点觉得是很神奇的不知道是啥东西。现在看来，说到底s和z其实就是个复数。复数本身和实数相比，典型的特征就是能够描述旋转。比如说0，j，-1，-j就是四个角度。再比如，最著名的欧拉公式

我们知道一个系统的最后的输出模态由系统的极点来决定，也就是$e^{st}$。我们令$s=a+bi$。可得到
$$e^{st}=e^{at}\times e^{bit}=e^{at}\times \cos (bt)+i\times e^{at}\times \sin (bt)$$
单看$e^{bit}=\cos (bt)+i\sin (bt)$
如果没有t的话，$e^{bi}=\cos (b)+i\sin (b)$
这其实是在复平面上的一个向量。加上t的话，就是一个以角速度b旋转的向量，并且这个旋转的向量是单位向量。前面再乘个$e^{at}$，表示这个旋转的向量的长短会随着时间发生变化。
换言之，对于$e^x$，x如果是实数，$e^x$就是复平面实轴上的一点；x如果是纯虚数像i2，$e^x$就是复平面上模值为1的一个向量；x如果是复数像a+bi，$e^x$就是复平面上模值由a决定的一个向量。如果x中还包含时间变量t，实轴上的点的话会在实轴上随t移动；复平面的向量的话会随时间旋转，实部描述了模值大小变化，虚部描述了旋转速度快慢。
基于此，我们再来考虑一组正交的正弦函数它可以描述复平面上的向量。也即欧拉公式$e^{ix}=\cos (x)+i\sin (x)$，当极点共轭时，也就是说，向量对称分布在实轴两边。也就是说虚部可以抵消掉。也就是说最后只有实部分量。这也就是一组共轭极点对应于一个正弦函数的原因所在。
这也就是说，复平面上的一个点就可以对应于$e^{at}\cos (bt)$一个这么复杂的时域响应。所以我觉得正是由于引入了复平面，所以才能把$cos(bt)$,这个正弦量通过一组点反应出来。从而方便了控制系统的设计与分析——即我们只要设计或分析极点的位置就好了。

如有理解不到位的地方，恳请大家批评指正。