机器学习之朴素贝叶斯分类器

朴素贝叶斯分类器

贝叶斯决策论是概率框架下实施决策的基本方法

贝叶斯公式

$P(B|A)=\frac{P(A|B)P(B)}{P(A)}$

对于贝叶斯公式来讲，我们是通过求出先验概率$P(B)$ 和类条件概率$P(A|B)$来确定后验概率$P(B|A)$ ，通过估计后验概率的大小来判断事件所属的类别。

举个例子：假设一个班有2/3的学生是男生，有1/3的学生是女生，男生中有3/5的人戴眼镜，女生中有1/5的人戴眼镜。现有一学生戴眼镜，判断此学生是男生还是女生？

由公式可得：

先验概率：$P(男)=2/3$ $P(女)=1/3$

类条件概率：$P(戴|男)=3/5$ $P(戴|女)=1/5$

$\begin{array}{rl}P(戴)& =P(男)P(戴|男)+P(女)P(戴|女)\\ & =2/3\ast 3/5+1/3\ast 1/5\\ & =7/15\end{array}$

后验概率：
$\begin{array}{rl}P(男|戴)=\frac{P(男)P(戴|男)}{P(戴)}& =\frac{2/3\ast 3/5}{7/15}\\ & =6/7\end{array}$

$\begin{array}{rl}P(女|戴)=\frac{P(女)P(戴|女)}{P(戴)}& =\frac{1/3\ast 1/5}{7/15}\\ & =1/7\end{array}$

因为$P(男|戴)>P(女|戴)$ 故判断此学生为男生

朴素贝叶斯分类

运用贝叶斯思想对数据集进行分类时

换成分类任务的表达式：

$P(类别|特征)=\frac{P(特征|类别)P(类别)}{P(特征)}$

假设有一个训练集D:

有N种可能的类别：γ={c1,c2,...,cN}\gamma=\{c_1,c_2,...,c_N\}γ={c1​,c2​,...,cN​}

每个样本有$d$种特征：X={x1,x2,...,xd}X=\{x_1,x_2,...,x_d\}X={x1​,x2​,...,xd​}

则对于样本x，我们有：

$P(c|x)=\frac{P(c)P(x|c)}{P(x)}$

对于先验概率$P(c)$，当有充足的独立同分布的样本时，根据大数定律，可以对先验概率进行估计，令$D_c$为训练集D中第c类样本的集合。则：

$P(c)=\frac{|D_c|}{|D|}$

对于类条件概率$P(x|c)$ ，即$P(x_1,x_2,...,x_d|c)$ 是在类别c下所有特征的联合概率分布，也就是说当每个特征有二值时，样本空间有 $2^d$ 种可能，远大于已有训练集，不能直接在训练集中估计。于是朴素贝叶斯的思想是，假设每个特征都独立同分布则：

$P(x|c)={\Pi }_{i=1}^{d}P(x_i|c)$ $x_i$表示在样本x上第 i 个特征的取值。

在训练集上：

$P(x_i|c)=\frac{|D_{c{x}_i}|}{|D_c|}$ $D_{c{x}_i}表示在第c类下第i个特征取x_i的样本$

此时朴素贝叶斯公式表现为：

$\begin{array}{rl}P(x|c)& =\frac{P(c)}{P(x)}{\Pi }_{i=1}^{d}P(x_i|c)\\ & =\frac{P(c)}{P(x)}{\Pi }_{i=1}^d\frac{|D_{c{x}_i}|}{|D_c|}\end{array}$

由于类别 c 的取值于$P(x)$无关，于是：

$P(x|c)\propto P(c)P(x|c)$

因此朴素贝叶斯的判定准则有：

$h_{nb}(x)=\underset{c\in \gamma }{\arg }P(c){\Pi }_{i=1}^{d}P(x_i|c)$

也就是我们要找到一个 c 使样本的后验概率最大，我们就将这个样本判定为 c 类。

在实际情况中，会出现某个特征值与训练集中的某个类同时出现过，这样会使类条件概率为0。为避免其他特征值被未在训练集中出现的特征“抹去”。我们在估计概率值时通常要进行平滑处理。

修正为：

$P(c)=\frac{|D_c|+1}{|D|+N}$

$P(x_i|c)=\frac{|D_{c{x}_i}|+1}{|D|+N_i}$

$N$表示整个训练集中可能的特征数，$N_i$表示第 i 个特征可能的取值数。

参考：周志华《机器学习》